已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，以AB弦為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，試探討點(diǎn)O到直線l的距離是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由．
（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意
c
a
=
6
3
a=
3
∴b=1，…．（2分）
∴所求橢圓方程為
x2
3
+y2=1．…..（4分）
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．
①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，設(shè)AB方程為：x=m，此時(shí)A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，又以|AB|為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，
設(shè)A（m，m）代入橢圓方程得：m=
3
2
…．（6分）
②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．聯(lián)立
x2
3
+y2=1
y=kx+m
，
整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，∴x1+x2=
-6km
3k2+1
，x1x2=
3(m2-1)
3k2+1
．…．（8分）
又y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=
3k2(m2-1)
1+3k2
+
-6k2m2
1+3k2
+m2=
m2-3k2
1+3k2
．
由以|AB|為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則有
OA
•
OB
=0．…..（10分）
即：x1x2+y1y2=0，故滿足：
3(m2-1)
1+3k2
+
m2-3k2
1+3k2
=0得：4m2=3+3k2，所以m2=
3
4
(k2+1)．
又點(diǎn)O到直線AB的距離為：d=
|m|
1+k2
=
3
2
1+k2
1+k2
=
3
2
．
綜上所述：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值
3
2
．…（13分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

若點(diǎn)P到點(diǎn)F（
1
2
，0）的距離與它到直線x+
1
2
=0的距離相等．
（1）求P點(diǎn)軌跡方程C，
（2）A點(diǎn)是曲線C上橫坐標(biāo)為8且在X軸上方的點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)且斜率為1的直線l與C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，求C與l所圍成的圖形的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知點(diǎn)P為拋物線y2=2x上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x+2的距離的最小值為_(kāi)_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C1：y=x2，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，橢圓C2：
x2
2
+
y2
a2
=1（0＜a＜2）；
（1）若M是C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF|=
3
4
，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)直線l：y=kx+1與拋物線C1交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，l與橢圓C2交于P，Q兩個(gè)不同點(diǎn)，AB中點(diǎn)為R，PQ中點(diǎn)為S，若O在以RS為直徑的圓上，且k2＞
1
2
，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過(guò)點(diǎn)（1，
3
2
），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左右焦點(diǎn)，且離心率e=
1
2

（1）求橢圓C的方程．
（2）已知A為橢圓C的左頂點(diǎn)，直線l過(guò)右焦點(diǎn)F2與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若AM、AN的斜率k1，k2滿足k1+k2=-
1
2
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知點(diǎn)B（6，0）和點(diǎn)C（-6，0），過(guò)點(diǎn)B的直線l與過(guò)點(diǎn)C的直線m相交于點(diǎn)A，設(shè)直線l的斜率為k1，直線m的斜率為k2，
（1）如果k1•k2=-
4
9
，求點(diǎn)A的軌跡方程，并寫(xiě)出此軌跡曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如果k1•k2=
4
9
，求點(diǎn)A的軌跡方程，并寫(xiě)出此軌跡曲線的離心率；
（3）如果k1•k2=k（k≠0，k≠-1），根據(jù)（1）和（2），你能得到什么結(jié)論？（不需要證明所得結(jié)論）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓mx2+ny2=1，直線y=x+1與該橢圓相交于P和Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，|PQ|=
10
2
，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線C：y2=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+b與拋物線C交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a為正常數(shù)）．過(guò)弦AB的中點(diǎn)M作平行于x軸的直線交拋物線C于點(diǎn)D，連接AD、BD得到△ABD．
（i）求實(shí)數(shù)a，b，k滿足的等量關(guān)系；
（ii）△ABD的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，拋物線的焦點(diǎn)為．若，則此橢圓的離心率為（　　）
A．      B．       C．     D．

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