如圖,已知拋物線C:y2=2px(p>0)上橫坐標(biāo)為4的點到焦點的距離為5.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線y=kx+b與拋物線C交于兩點A(x1,y1),B(x2,y2),且|y1-y2|=a(a為正常數(shù)).過弦AB的中點M作平行于x軸的直線交拋物線C于點D,連接AD、BD得到△ABD.
(i)求實數(shù)a,b,k滿足的等量關(guān)系;
(ii)△ABD的面積是否為定值?若為定值,求出此定值;若不是定值,請說明理由.
(Ⅰ)依題意:4+
1
2
p=5
,解得p=2.
∴拋物線方程為y2=4x.
(Ⅱ)(i)由方程組
y=kx+b
y2=4x
消去x得:ky2-4y+4b=0.(※)
依題意可知:k≠0.
由已知得y1+y2=
4
k
,y1y2=
4b
k

由|y1-y2|=a,得(y1+y2)2-4y1y2=a2
依題意:4+
1
2
p=5
,解得p=2.
∴拋物線方程為y2=4x.
(Ⅱ)(i)由方程組
y=kx+b
y2=4x
消去x得:ky2-4y+4b=0.(※)
依題意可知:k≠0.
由已知得y1+y2=
4
k
,y1y2=
4b
k

由|y1-y2|=a,得(y1+y2)2-4y1y2=a2,即
16
k2
-
16b
k
=a2
,整理得16-16kb=(ak)2
所以(ak)2=16(1-kb)
(ii)由(i)知AB中點M(
2-bk
k2
,
2
k
),所以點D(
1
k2
,
2
k
),
依題意知S△ABD=
1
2
DM•|y1-y2|

=
1
2
|1-bk|
k2
•a

又因為方程(※)中判別式△=16-16kb>0,得1-kb>0.
所以S△ABD=
1
2
×
1-kb
k2
a
,由(Ⅱ)可知1-kb=
(ak)2
16

所以S△ABD=
1
2
×
a2
16
×a=
a3
32

又a為常數(shù),故△ABD的面積為定值.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
6
3
,短軸一個端點到右焦點的距離為
3

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點,以AB弦為直徑的圓過坐標(biāo)原點O,試探討點O到直線l的距離是否為定值?若是,求出這個定值;若不是,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,過F且斜率為
3
直線與拋物線在x軸上方的交點為M,過M作y軸的垂線,垂足為N,O為坐標(biāo)原點,若四邊形OFMN的面積為4
3

(1)求拋物線的方程;
(2)若P,Q是拋物線上異于原點O的兩動點,且以線段PQ為直徑的圓恒過原點O,求證:直線PQ過定點,并指出定點坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

AB是過C:y2=4x焦點的弦,且|AB|=10,則AB中點的橫坐標(biāo)是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

過雙曲線x2-y2=1上一點Q作直線x+y=2的垂線,垂足為N,則線段QN的中點P的軌跡方程為(  )
A.2x2-2y2-2x-1=0B.x2+y2=1
C.2x2+2y2-y=0D.2x2-2y2-2x+2y-1=0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y2=6x,過點p(3,1)引一條弦p1p2使它恰好被點p平分,求這條弦所在直線方程及|p1p2|.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)其右準(zhǔn)線交x軸于點A,雙曲線虛軸的下端點為B,過雙曲線的右焦點F(c,0)作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P,若點D滿足:2
OD
=
OF
+
OP
(O為原點)且
AB
AD
(λ≠0)

(1)求雙曲線的離心率;
(2)若a=2,過點B的直線l交雙曲線于M、N兩點,問在y軸上是否存在定點C,使?
CM
CN
為常數(shù),若存在,求出C點的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(文科)一動圓過定點P(0,1),且與定直線l:y=-1相切.
(1)求動圓圓心C的軌跡方程;
(2)若(1)中的軌跡上兩動點記為A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2=-16.
①求證:直線AB過一定點,并求該定點坐標(biāo);
②求|PA|+|PB|的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

三角形ABC的兩頂點A(-2,0),B(0,-2),第三頂點C在拋物線y=x2+1上,求三角形ABC的重心G的軌跡.

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同步練習(xí)冊答案