已知圓C:,直線L：.
（1）求證：對直線L與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
（2）設(shè)L與圓C交于不同兩點(diǎn)A、B，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）若定點(diǎn)P（1,1）分弦AB所得向量滿足，求此時(shí)直線L的方程.

（1）詳見解析；（2）；（3）直線方程為或.

解析試題分析：（1）由直線L的方程可知，直線L恒過定點(diǎn)（1，1），而這個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線L與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）設(shè)M（x,y）.當(dāng)M不與P重合時(shí)，連接CM、CP，由于P是AB的中點(diǎn)，所以CMMP，用勾股定理便可得所求方程（或用向量的數(shù)量積等于0也可）.（3）設(shè)A（），B（）由可得.將直線與圓的方程聯(lián)立得.由韋達(dá)定理得，再將此與聯(lián)立得，代入方程得，從而得直線的方程.
試題解析：（1）直線恒過定點(diǎn)（1，1），且這個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線L與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
（2）當(dāng)M不與P重合時(shí)，連接CM、CP，則CMMP，設(shè)M（x,y）
則
化簡得：
當(dāng)M與P重合時(shí)，滿足上式.
（3）設(shè)A（），B（）由得.
將直線與圓的方程聯(lián)立得：       ..（*）

可得，代入（*）得
直線方程為或.
考點(diǎn)：直線與圓.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓M： ，直線,上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為,過點(diǎn)A作圓M的兩條切線,,切點(diǎn)分別為B,C.

（1）當(dāng)時(shí)，求直線,的方程；
（2）當(dāng)直線,互相垂直時(shí)，求的值；
（3）是否存在點(diǎn)A，使得？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，△ABO三邊上的點(diǎn)C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC＝CB．

(1)求證：直線AB是⊙O的切線；
(2)若AD＝2，且tan∠ACD＝，求⊙O的半徑r的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知，為圓的直徑，為垂直的一條弦，垂足為，弦交于.
（1）求證：、、、四點(diǎn)共圓；
（2）若，求線段的長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

直線kx－y＋6=0被圓x2＋y2=25截得的弦長為8，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于兩點(diǎn).
（1）求圓的方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)．記過三個(gè)交點(diǎn)的圓為圓C.
(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
(2)求圓C的方程；
(3)圓C是否經(jīng)過定點(diǎn)(與b的取值無關(guān))？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知點(diǎn)A(－1，0)與點(diǎn)B(1，0)，C是圓x2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BC并延長至D，使得CD＝BC，求AC與OD的交點(diǎn)P的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知以點(diǎn)C (t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O，A，與y軸交于點(diǎn)O，B，其中O為原點(diǎn)．
(1)求證：△AOB的面積為定值；
(2)設(shè)直線2x＋y－4＝0與圓C交于點(diǎn)M，N，若|OM|＝|ON|，求圓C的方程；
(3)在(2)的條件下，設(shè)P，Q分別是直線l：x＋y＋2＝0和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求|PB|＋|PQ|的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．.

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