【題目】已知函數(shù)，為的導函數(shù).證明：

（1）在區(qū)間存在唯一極小值點；

（2）有且僅有個零點.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）令，然后得到，得到的單調性和極值，從而證明在區(qū)間存在唯一極小值點；

（2）根據(jù)的正負，得到的單調性，結合，，的值，得到的圖像，從而得到的單調性，結合和的值，從而判斷出有且僅有個零點.

（1）令，

，

當時，恒成立，

當時，.

∴在遞增，，.

故存在使得，時，時，.

綜上，在區(qū)間存在唯一極小值點.

（2）由（1）可得

時，，單調遞減，

時，，單調遞增.

且， .

故的大致圖象如下：

當時，，

∴此時，單調遞增，而.

故存在，使得

故在上，的圖象如下：

綜上，時，，時，，時，.

∴在遞增，在遞減，在遞增，

而，，

又當時，，恒成立.

故在上的圖象如下：

∴有且僅有個零點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】年以來精準扶貧政策的落實，使我國扶貧工作有了新進展，貧困發(fā)生率由年底的下降到年底的，創(chuàng)造了人類減貧史上的的中國奇跡.“貧困發(fā)生率”是指低于貧困線的人口占全體人口的比例，年至年我國貧困發(fā)生率的數(shù)據(jù)如下表：

年份

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

貧困發(fā)生率

10.2

8.5

7.2

5.7

4.5

3.1

1.4

（1）從表中所給的個貧困發(fā)生率數(shù)據(jù)中任選兩個，求兩個都低于的概率；

（2）設年份代碼，利用線性回歸方程，分析span>年至年貧困發(fā)生率與年份代碼的相關情況，并預測年貧困發(fā)生率.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

(的值保留到小數(shù)點后三位）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，以為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)，直線與曲線分別交于兩點.

（1）若點的極坐標為，求的值；

（2）求曲線的內接矩形周長的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在五面體中，側面是正方形，是等腰直角三角形，點是正方形對角線的交點，且.

（1）證明：平面；

（2）若側面與底面垂直，求五面體的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，a1＝1，b1＝﹣1，a2-b2＝2.

（1）若a3-b3＝6，求{bn}的通項公式

（2）若T3＝﹣13，求S5.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設正四面體ABCD的所有棱長都為1米，有一只螞蟻從點A開始按以下規(guī)則前進：在每一個頂點處等可能地選擇通過這個頂點的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，則它爬了4米之后恰好位于頂點A的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】四棱錐底面是菱形，平面，，分別是的中點.

（1）求證：平面平面；

（2），垂足為，斜線與平面所成的角為，求二面角的正切值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù))．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，直線經過橢圓的右焦點．

（1）求實數(shù)的值；

（2）設直線與橢圓相交于兩點，求的值．

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