Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為, 直線過(guò)點(diǎn).

(Ⅰ)若點(diǎn)到直線的距離為, 求直線的斜率;

(Ⅱ)設(shè)為拋物線上兩點(diǎn), 且不與軸垂直, 若線段的垂直平分線恰過(guò)點(diǎn), 求證: 線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)詳見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），由已知，拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），因?yàn)辄c(diǎn)F到直線l的距離為，所以，由此能求出直線l的斜率；（Ⅱ）設(shè)線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為N，A，B，因?yàn)锳B不垂直于x軸，所以直線MN的斜率為，直線AB的斜率為，直線AB的方程為，由此能夠證明線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值

試題解析：（Ⅰ）由已知，x=4不合題意．設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），

由已知，拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），

因?yàn)辄c(diǎn)F到直線l的距離為，

所以，

解得，所以直線l的斜率為 .

(Ⅱ) 設(shè)線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為, ,

因?yàn)?/span>不垂直于軸,

則直線的斜率為, 直線的斜率為,

直線的方程為,

聯(lián)立方程

消去得,

所以,

因?yàn)?/span>為中點(diǎn), 所以, 即,

所以.即線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.