【題目】已知圓C經(jīng)過A(3,2)、B(1,6),且圓心在直線y=2x上. (Ⅰ)求圓C的方程.
(Ⅱ)若直線l經(jīng)過點P(﹣1,3)與圓C相切,求直線l的方程.

【答案】解:(Ⅰ)∵圓心在直線y=2x上, 故可設(shè)圓心C(a,2a),半徑為r.
則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x﹣a)2+(y﹣2a)2=r2
∵圓C經(jīng)過A(3,2)、B(1,6),

解得a=2,r=
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(x﹣2)2+(y﹣4)2=5.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,圓C的圓心為C(2,4),半徑r=
直線l經(jīng)過點P(﹣1,3),
①若直線斜率不存在,
則直線l:x=﹣1.
圓心C(2,4)到直線l的距離為
d=3<r= ,故直線與圓相交,不符合題意.
②若直線斜率存在,設(shè)斜率為k,
則直線l:y﹣3=k(x+1),
即kx﹣y+k+3=0.
圓心C(2,4)到直線l的距離為
d= =
∵直線與圓相切,
∴d=r,即 =
∴(3k﹣1)2=5+5k2 ,
解得k=2或k=
∴直線l的方程為2x﹣y+5=0或x+2y﹣5=0
【解析】(Ⅰ)根據(jù)已知設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,將點A,B的坐標(biāo)代入標(biāo)準(zhǔn)方程,解方程組即可求出圓心及半徑,從而得到圓C的方程. (Ⅱ)根據(jù)已知設(shè)出直線方程,利用直線與圓相切的性質(zhì)d=r即可求出直線斜率k,從而求出直線方程.

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