Question

【題目】品酒師需定期接受酒味鑒別功能測(cè)試，一種通常采用的測(cè)試方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過一段時(shí)間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這n瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測(cè)試．根據(jù)一輪測(cè)試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評(píng)分． 現(xiàn)設(shè)n=4，分別以a1 ， a2 ， a3 ， a4表示第一次排序時(shí)被排為1，2，3，4的四種酒在第二次排序時(shí)的序號(hào)，并令X=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，
則X是對(duì)兩次排序的偏離程度的一種描述．
（Ⅰ）寫出X的可能值集合；
（Ⅱ）假設(shè)a1 ， a2 ， a3 ， a4等可能地為1，2，3，4的各種排列，求X的分布列；
（Ⅲ）某品酒師在相繼進(jìn)行的三輪測(cè)試中，都有X≤2，
①試按（Ⅱ）中的結(jié)果，計(jì)算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率（假定各輪測(cè)試相互獨(dú)立）；②你認(rèn)為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）X的可能取值集合為{0、2、4、6、8}

∵在1、2、3、4中奇數(shù)與偶數(shù)各有兩個(gè)，

∴a2，a4中的奇數(shù)個(gè)數(shù)等于a1，a3中的偶數(shù)個(gè)數(shù)，

∴|1﹣a1|+|3﹣a3|與|2﹣a2|+|4﹣a4|的奇偶性相同，

∴X=（|1﹣a1|+|3﹣a3|）+（|2﹣a2|+|4﹣a4|）必為偶數(shù)，

X的值非負(fù)，且易知其值不大于8，

∴X的可能取值集合為{0、2、4、6、8}

（Ⅱ）可以用列表或者樹狀圖列出1、2、3、4的一共24種排列，

計(jì)算每種排列下的X的值，

在等可能的假定下，

得到P（X=0）=

P（X=2）=

P（X=4）=

P（X=6）=

P（X=8）=

（Ⅲ）①首先P（X≤2）=P（X=0）+P（X=2）= =

將三輪測(cè)試都有X≤2的概率記做P，有上述結(jié)果和獨(dú)立性假設(shè)得

P= = ，

②由于P= ＜ 是一個(gè)很小的概率，

這表明僅憑隨機(jī)猜測(cè)得到三輪測(cè)試都有X≤2的結(jié)果的可能性很小，

∴我們認(rèn)為該品酒師確實(shí)有良好的鑒別功能，不是靠隨機(jī)猜測(cè)．

【解析】（1）X的可能取值集合為{0、2、4、6、8}，在1、2、3、4中奇數(shù)與偶數(shù)各有兩個(gè)，a2，a4中的奇數(shù)個(gè)數(shù)等于a1，a3中的偶數(shù)個(gè)數(shù)，得到|1﹣a1|+|3﹣a3|與|2﹣a2|+|4﹣a4|的奇偶性相同，得到結(jié)論．（2）可以用列表或者樹狀圖列出1、2、3、4的一共24種排列，計(jì)算每種排列下的X的值，算出概率，寫出分布列．（3）做出三輪測(cè)試都有X≤2的概率，記做P，做出概率的值和已知量進(jìn)行比較，得到結(jié)論，
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的離散型隨機(jī)變量及其分布列，需要了解在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列才能得出正確答案．