【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2acosθ(a>0),且曲線C與直線l有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)設(shè)A、B為曲線C上的兩點(diǎn),且∠AOB= ,求|OA|+|OB|的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)∵直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),
∴直線l的普通方程是x+ ﹣3=0,
∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2acosθ(a>0),
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程是(x﹣a)2+y2=a2,
依題意直線l與圓相切,則d= =a,
解得a=﹣3,或a=1,
∵a>0,∴a=1.
(Ⅱ)如圖,不妨設(shè)A(ρ1,θ),B(ρ2, ),
則ρ1=2cosθ, ,
|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2cosθ+2cos( )=3cosθ﹣ =2 cos( ),
∴θ+ =2kπ,即 ,k∈Z時(shí),|OA|+|OB|最大值是2 .
【解析】(Ⅰ)直線l的參數(shù)方程消去參數(shù),能求出直線l的普通方程;由曲線C的極坐標(biāo)方程能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程,依題意直線l與圓相切,由此能求出a的值.(Ⅱ)設(shè)A(ρ1,θ),B(ρ2, ),則|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2cosθ+2cos( )=3cosθ﹣ =2 cos( ),由此能求出|OA|+|OB|的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】品酒師需定期接受酒味鑒別功能測(cè)試,一種通常采用的測(cè)試方法如下:拿出n瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗,要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序;經(jīng)過(guò)一段時(shí)間,等其記憶淡忘之后,再讓其品嘗這n瓶酒,并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序,這稱為一輪測(cè)試.根據(jù)一輪測(cè)試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評(píng)分. 現(xiàn)設(shè)n=4,分別以a1 , a2 , a3 , a4表示第一次排序時(shí)被排為1,2,3,4的四種酒在第二次排序時(shí)的序號(hào),并令X=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|,
則X是對(duì)兩次排序的偏離程度的一種描述.
(Ⅰ)寫出X的可能值集合;
(Ⅱ)假設(shè)a1 , a2 , a3 , a4等可能地為1,2,3,4的各種排列,求X的分布列;
(Ⅲ)某品酒師在相繼進(jìn)行的三輪測(cè)試中,都有X≤2,
①試按(Ⅱ)中的結(jié)果,計(jì)算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率(假定各輪測(cè)試相互獨(dú)立);②你認(rèn)為該品酒師的酒味鑒別功能如何?說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x+ |(a>0)
(1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)>3的解集;
(2)證明:f(m)+f(﹣ )≥4.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】規(guī)定:點(diǎn)P(x,y)按向量 平移后的點(diǎn)為Q(x+a,y+b).若函數(shù) 的圖象按向量 =(j,k)且|j| 平移后的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是 +1.
(1)試求向量 的坐標(biāo);
(2)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知f(2A)+2cos(B+C)=1, ①求角A的大小;
②若a=6,求b+c的取值范圍.
另外:最后一小題也可用“余弦定理結(jié)合基本不等式”求解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量 =(sinx,1), =(2cosx,3),x∈R.
(1)當(dāng) =λ 時(shí),求實(shí)數(shù)λ和tanx的值;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)= ,求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某廠每日生產(chǎn)一種大型產(chǎn)品2件,每件產(chǎn)品的投入成本為1000元.產(chǎn)品質(zhì)量為一等品的概率為0.5,二等品的概率為0.4,每件一等品的出廠價(jià)為5000元,每件二等品的出廠價(jià)為4000元,若產(chǎn)品質(zhì)量不能達(dá)到一等品或二等品,除成本不能收回外,每生產(chǎn)1件產(chǎn)品還會(huì)帶來(lái)1000元的損失.
(Ⅰ)求在連續(xù)生產(chǎn)的3天中,恰有兩天生產(chǎn)的2件產(chǎn)品都為一等品的概率;
(Ⅱ)已知該廠某日生產(chǎn)的這種大型產(chǎn)品2件中有1件為一等品,求另1件也為一等品的概率;
(Ⅲ)求該廠每日生產(chǎn)這種產(chǎn)品所獲利潤(rùn)ξ(元)的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,已知直線l的參數(shù)方程為 ,(t為參數(shù),0<θ<π),曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2α﹣2cosα=0.
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)θ變化時(shí),求|AB|的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】折紙已經(jīng)成為開發(fā)少年兒童智力的一大重要工具和手段.已知在折疊“愛心”的過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生如圖所示的幾何圖形,其中四邊形ABCD為正方形,G為線段BC的中點(diǎn),四邊形AEFG與四邊形DGHI也為正方形,連接EB,CI,則向多邊形AEFGHID中投擲一點(diǎn),該點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)的概率為 .
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