(本題滿分14分)
數(shù)列
,
(
)由下列條件確定:①
;②當
時,
與
滿足:當
時,
,
;當
時,
,
.
(Ⅰ)若
,
,寫出
,并求數(shù)列
的通項公式;
(Ⅱ)在數(shù)列
中,若
(
,且
),試用
表示
;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下,設(shè)數(shù)列
滿足
,
,
(其中
為給定的不小于2的整數(shù)),求證:當
時,恒有
.
(Ⅰ)解:因為
,所以
,
.
因為
,所以
,
.
因為
,所以
,
.
所以
. …………………………………… 2分
由此猜想,當
時,
,則
,
.… 3分
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當
時,已證成立.
②假設(shè)當
(
,且
)猜想成立,
即
,
,
.
當
時,由
,
得
,則
,
.
綜上所述,猜想成立.
所以
.
故
. ……………………………………………… 6分
(Ⅱ)解:當
時,假設(shè)
,根據(jù)已知條件則有
,
與
矛盾,因此
不成立, …………… 7分
所以有
,從而有
,所以
.
當
時,
,
,
所以
; …………………… 8分
當
時,總有
成立.
又
,
所以數(shù)列
(
)是首項為
,公比為
的等比數(shù)列,
,
,
又因為
,所以
. …………………………… 10分
(Ⅲ)證明:由題意得
.
因為
,所以
.
所以數(shù)列
是單調(diào)遞增數(shù)列. …………………………………… 11分
因此要證
,只須證
.
由
,則
<
,即
.…… 12分
因此
.
所以
.
故當
,恒有
. …………………………………………………14分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
,數(shù)列
滿足
(1)求數(shù)列
的通項公式;(2)記
,求
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
定義函數(shù)
,其中
表示不超過
的最大整數(shù),當
時,設(shè)函數(shù)
的值域為集合
,記
中的元素個數(shù)為
,則使
為最小時的
是( ▲ )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
數(shù)列
滿足
且
,則
等于 ( )
、
、
、
、
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
=_____________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n+n-1,則a1+a3= ▲ .
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
(文)右數(shù)表為一組等式,如果能夠猜測
,則
.
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