(本小題滿分12分)
如圖,在四棱錐
P-ABCD中,則面PAD⊥底面
ABCD,側(cè)棱
PA=
PD=
,底面
ABCD為直角梯形,其中
BC∥
AD,
AB⊥
AD,
AD=2
AB=2
BC=2,
O為
AD中點.
(Ⅰ)求證:
PO⊥平面
ABCD;
(Ⅱ)求異面直線
PB與
CD所成角的大。
(Ⅲ)線段
AD上是否存在點
Q,使得它到平面
PCD的距離為
?若存在,求出
的值;若不存在,請說明理由.
在Rt△
POA中,因為
AP=
,
AO=1,所以
OP=1,
在Rt△
PBO中,tan∠
PBO=
所以異面直線
PB與
CD所成的角是
.
(Ⅲ)假設(shè)存在點Q,使得它到平面PCD的距離為
.
設(shè)
QD=
x,則
,由(Ⅱ)得
CD=
OB=
,
在Rt△
POC中,
所以
PC=
CD=
DP,
由
Vp-DQC=VQ-PCD,得
2,所以存在點
Q滿足題意,此時
.
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以
O為坐標(biāo)原點,
的方向分別為
x軸、
y軸、
z軸的正方向,建
立空間直角坐標(biāo)系
O-xyz,依題意,易得
A(0,-1,0),
B(1,-1,0),
C(1,0,0),
D(0,1,0),
P(0,0,1),
所以
所以異面直線
PB與
CD所成的角是arccos
,
(Ⅲ)假設(shè)存在點
Q,使得它到平面
PCD的距離為
,
由(Ⅱ)知
設(shè)平面
PCD的法向量為
n=(
x0,
y0,
z0).
則
所以
即
,
取
x0=1,得平面
PCD的一個法向量為
n=(1,1,1).
設(shè)
由
,得
解
y=-
或
y=
(舍去),
此時
,所以存在點
Q滿足題意,此時
.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,
DC⊥平面
ABC,
EB∥
DC,
AC=
BC=
EB=2
DC=2,∠
ACB=120°,
P、
Q分別為
AE、
AB的中點.
(1)證明:
PQ∥平面
ACD;
(2)求
AD與平面
ABE所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=
,E,F(xiàn)分別是AD,PC的中點.
(Ⅰ)證明:PC ⊥平面BEF;
(Ⅱ)求平面BEF與平面BAP夾角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分13分)
如圖,在四棱錐
中,底面
為直角
梯形,且
,
,側(cè)面
底面
. 若
.
(Ⅰ)求證:
平面
;
(Ⅱ)側(cè)棱
上是否存在點
,使得
平面
?若存在,指出點
的位置并證明,若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,五面體
中,
.底面
是正三角形,
.四邊形
是矩形,二面角
為直二面角.
(Ⅰ)
在
上運動,當(dāng)
在何處時,有
∥平面
,
并且說明理由;
(Ⅱ)當(dāng)
∥平面
時,求二面角
余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知六棱錐
的底面是正六邊形,
平面
.則下列結(jié)論不正確的是
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
(理科)有共同底邊的等邊三角形
和
所在平面互相垂直,則異面直線
和
所成角的余弦值為 ( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
設(shè)
m、
n是兩條不同的直線,
是三個不同的平面,給出下列四個命題:
①若
,
,則
②若
,
,
,則
③若
,
,則
④若
,
,則
其中正確命題的序號是
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