Question

（2012•廣東）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的點(diǎn)且DF=

1

2

AB，PH為△PAD中AD邊上的高．
（1）證明：PH⊥平面ABCD；
（2）若PH=1，AD=

2

，F(xiàn)C=1，求三棱錐E-BCF的體積；
（3）證明：EF⊥平面PAB．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)锳B⊥平面PAD，所以PH⊥AB，因?yàn)镻H為△PAD中AD邊上的高，所以PH⊥AD，由此能夠證明PH⊥平面ABCD．
（2）連接BH，取BH中點(diǎn)G，連接EG，因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以EG∥PH，因?yàn)镻H⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，由此能夠求出三棱錐E-BCF的體積．
（3）取PA中點(diǎn)M，連接MD，ME，因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以DF

∥ .

.

1

2

AB，因?yàn)镸E

∥ .

.

1

2

AB，所以ME

∥ .

.

DF，故四邊形MEDF是平行四邊形．由此能夠證明EF⊥平面PAB．

解答：解：（1）證明：∵AB⊥平面PAD，
∴PH⊥AB，
∵PH為△PAD中AD邊上的高，
∴PH⊥AD，
∵AB∩AD=A，
∴PH⊥平面ABCD．
（2）如圖，連接BH，取BH中點(diǎn)G，連接EG，
∵E是PB的中點(diǎn)，
∴EG∥PH，
∵PH⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD，
則EG=

1

2

PH=

1

2

，
∴VE-BCF=

1

3

S△BCF•EG=

1

3

•

1

2

•FC•AD•EG=

2

12

（3）證明：如圖，取PA中點(diǎn)M，連接MD，ME，
∵E是PB的中點(diǎn)，
∴ME

∥ .

.

1

2

AB，
∵DF

∥ .

.

1

2

AB，
∴ME

∥ .

.

DF，
∴四邊形MEDF是平行四邊形，
∴EF∥MD，
∵PD=AD，∴MD⊥PA，
∵AB⊥平面PAD，∴MD⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴MD⊥平面PAB，
∴EF⊥平面PAB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，求三棱錐的體積，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地化立體幾何問(wèn)題為平面幾何問(wèn)題．