【題目】某沿海特區(qū)為了緩解建設用地不足的矛盾,決定進行圍海造陸以增加陸地面積.如圖,兩海岸線,所成角為,現(xiàn)欲在海岸線,上分別取點,修建海堤,以便圍成三角形陸地,已知海堤長為6千米.

1)如何選擇,的位置,使得的面積最大;

2)若需要進一步擴大圍海造陸工程,在海堤的另一側(cè)選取點,修建海堤圍成四邊形陸地.當海堤的長度之和為10千米時,求四邊形面積的最大值.

【答案】1)當兩點距離點都為千米時,最大面積為(平方千米);

2)四邊形面積的最大值為(平方千米).

【解析】

1)設,由余弦定理得:,

因為,即,當且僅當時取得等號;

2)要求四邊形面積的最大值,只需求面積的最大值.中,,所以點的軌跡是以,為焦點,長軸長10的橢圓(夾在兩海岸線,區(qū)域內(nèi)的曲線),根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì),求出點到距離的最大值即可得到最大面積.

1)設,,(單位:千米)

中,由余弦定理得:,

因為,,

所以,,

,當且僅當時取得等號,

此時,(平方千米).

所以,當兩點距離點都為千米時,的面積最大,最大面積為(平方千米).

2)由(1)知,要求四邊形面積的最大值,只需求面積的最大值.

中,,所以點的軌跡是以,為焦點,長軸長10的橢圓(夾在兩海岸線區(qū)域內(nèi)的曲線),

所在直線為軸,的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系,

設點所在的橢圓方程為,焦距為,

,得:,

所以點所在的橢圓方程為.

,則,因為,

所以(平方千米),當且僅當(千米)時取得等號.

所以,四邊形面積的最大值為(平方千米).

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如果函數(shù)yf(x)的導函數(shù)的圖象如圖所示,給出下列判斷:

①函數(shù)yf(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;

②函數(shù)yf(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;

③函數(shù)yf(x)在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞增;

④當x2時,函數(shù)yf(x)有極小值;

⑤當x時,函數(shù)yf(x)有極大值.

則上述判斷中正確的是(  )

A. ①② B. ②③

C. ③④⑤ D.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】若存在實數(shù)使得則稱是區(qū)間一內(nèi)點.

(1)求證:的充要條件是存在使得是區(qū)間一內(nèi)點;

(2)若實數(shù)滿足:求證:存在,使得是區(qū)間一內(nèi)點;

(3)給定實數(shù),若對于任意區(qū)間,是區(qū)間的一內(nèi)點,是區(qū)間的一內(nèi)點,且不等式和不等式對于任意都恒成立,求證:

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),下列結(jié)論中錯誤的是(

A.的圖像關(guān)于點對稱B.的圖像關(guān)于直線對稱

C.的最大值為D.是周期函數(shù)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】給出下列命題:

1)存在實數(shù)使

2)直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸;

3)的值域是;

4)若,都是第一象限角,且,則

其中正確命題的序號為(

A.1)(2B.2)(3C.3)(4D.1)(4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為

1)求的極坐標方程;

2)將曲線上所有點的橫坐標不變,縱坐標縮短到原來的倍,得到曲線,若的交點為(異于坐標原點),的交點為,求

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】若存在常數(shù) kkN * , k≥2)、d、t d , tR),使得無窮數(shù)列 {a n }滿足a n +1,則稱數(shù)列{an }段差比數(shù)列,其中常數(shù) k、dt 分別叫做段長、段差、段比.設數(shù)列 {bn }段差比數(shù)列

1)已知 {bn }的首項、段長、段差、段比分別為1、 2 、 d t .若 {bn }是等比數(shù)列,求 d t 的值;

2)已知 {bn }的首項、段長、段差、段比分別為1、3 、3 、1,其前 3n 項和為 S3n .若不等式 S3nλ 3n1 n N *恒成立,求實數(shù) λ 的取值范圍;

3)是否存在首項為 b,段差為 dd ≠ 0 )的段差比數(shù)列” {bn },對任意正整數(shù) n 都有 bn+6 = bn ,若存在, 寫出所有滿足條件的 {bn }的段長 k 和段比 t 組成的有序數(shù)組 (k, t );若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它前一項的差都大于2,則稱這個數(shù)列為阿當數(shù)列”.

1)若數(shù)列阿當數(shù)列,且,,,求實數(shù)的取值范圍;

2)是否存在首項為1的等差數(shù)列阿當數(shù)列,且其前項和滿足?若存在,請求出的通項公式;若不存在,請說明理由.

3)已知等比數(shù)列的每一項均為正整數(shù),且阿當數(shù)列,,,當數(shù)列不是阿當數(shù)列時,試判斷數(shù)列是否為阿當數(shù)列,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】定義在上的函數(shù)同時滿足下列兩個條件:①對任意的恒有成立;②當時,.記函數(shù),若函數(shù)恰有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍是(

A.B.C.D.

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