Question

【題目】如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都大于2，則稱這個(gè)數(shù)列為“阿當(dāng)數(shù)列”.

（1）若數(shù)列為“阿當(dāng)數(shù)列”，且，，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）是否存在首項(xiàng)為1的等差數(shù)列為“阿當(dāng)數(shù)列”，且其前項(xiàng)和滿足？若存在，請(qǐng)求出的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）已知等比數(shù)列的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且為“阿當(dāng)數(shù)列”，，，當(dāng)數(shù)列不是“阿當(dāng)數(shù)列”時(shí)，試判斷數(shù)列是否為“阿當(dāng)數(shù)列”，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由見詳解；（3）見詳解.

【解析】

（1）根據(jù)題意，得到，求解即可得出結(jié)果；

（2）先假設(shè)存在等差數(shù)列為“阿當(dāng)數(shù)列”，設(shè)公差為，則，根據(jù)等差數(shù)列求和公式，結(jié)合題中條件，得到，即對(duì)任意都成立，判斷出，推出矛盾，即可得出結(jié)果；

（3）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)為“阿當(dāng)數(shù)列”，推出在數(shù)列中，為最小項(xiàng)；在數(shù)列中，為最小項(xiàng)；得到，，再由數(shù)列每一項(xiàng)均為正整數(shù)，得到，或，；分別討論，和，兩種情況，結(jié)合數(shù)列的增減性，即可得出結(jié)果.

（1）由題意可得：，，

即，解得或；

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（2）假設(shè)存在等差數(shù)列為“阿當(dāng)數(shù)列”，設(shè)公差為，則，

由可得：，

又，所以對(duì)任意都成立，

即對(duì)任意都成立，

因?yàn)?/span>，且，所以，與矛盾，

因此，不存在等差數(shù)列為“阿當(dāng)數(shù)列”；

（3）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，且每一項(xiàng)均為正整數(shù)，

因?yàn)?/span>為“阿當(dāng)數(shù)列”，所以，

所以，；因?yàn)?/span>，

即在數(shù)列中，為最小項(xiàng)；

同理，在數(shù)列中，為最小項(xiàng)；

由為“阿當(dāng)數(shù)列”，只需，即，

又因?yàn)閿?shù)列不是“阿當(dāng)數(shù)列”，所以，即，

由數(shù)列每一項(xiàng)均為正整數(shù)，可得：，所以，或，；

當(dāng)，時(shí)，，則，

令，則，

所以，

即數(shù)列為遞增數(shù)列，

所以，

因?yàn)?/span>，所以對(duì)任意，都有，

即數(shù)列是“阿當(dāng)數(shù)列”；

當(dāng)，時(shí)，，則，

顯然數(shù)列是遞減數(shù)列，，

故數(shù)列不是“阿當(dāng)數(shù)列”；

綜上，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是“阿當(dāng)數(shù)列”；當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是“阿當(dāng)數(shù)列”.