【題目】以邊長為4的等比三角形的頂點以及邊的中點為左、右焦點的橢圓過兩點.

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點且軸不垂直的直線交橢圓于兩點，求證直線與的交點在一條直線上.

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：

（1）先建立直角坐標(biāo)系，使橢圓方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，則

（2）研究圓錐曲線的定值問題，一般方法為以算代證，即先求兩直線交點坐標(biāo)，再確定交點所在定直線：由對稱性可知兩直線交點必在垂直于x軸的直線上，因此運算目標(biāo)為求交點橫坐標(biāo)為定值，設(shè)的方程為， ，則： ， ： ，消去y得，再利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理可得， ，代入化簡得

試題解析：（1） 由題意可知兩焦點為與，且，因此橢圓的方程為. （4分）

（2） ① 當(dāng)不與軸重合時，

設(shè)的方程為，且，

聯(lián)立橢圓與直線 消去可得，即，

設(shè)，

則： ①

： ②

②-①得

則，即.

②當(dāng)與軸重合時，即的方程為，即， .

即： ①

： ②

聯(lián)立①和②消去可得.

綜上與的交點在直線上.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：，點.

（1）設(shè)是橢圓上任意的一點，是點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點，記，求的取值范圍；

（2）已知點，，是橢圓上在第一象限內(nèi)的點，記為經(jīng)過原點與點的直線，為截直線所得的線段長，試將表示成直線的斜率的函數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知O為原點，A，B，C為平面內(nèi)的三點．求證：

(1) 若A，B，C三點共線，則存在實數(shù)α，β，且α＋β＝1，

(2) 若存在實數(shù)α，β，且α＋β＝1，使得，則A，B，C三點共線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知： ； ：直線與拋物線有公共點．如果為真命題，為假命題，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點,直線,動點到點的距離等于它到直線的距離.

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）是否存在過的直線,使得直線被曲線截得的弦恰好被點所平分？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】自點A(-3，3)發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光線L所在直線的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)棱平面， ， ， ， ，點是的中點

（1）證明： 平面；

（2）在線段上找一點，使得直線與所成角的為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某商品每件成本5元，售價14元，每星期賣出75件．如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值（單位：元，）的平方成正比，已知商品單價降低1元時，一星期多賣出5件．

（1）將一星期的商品銷售利潤表示成的函數(shù)；

（2）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，在高為2的梯形中， ， ， ，過、分別作， ，垂足分別為、。已知，將梯形沿、同側(cè)折起，得空間幾何體，如圖2。

（1）若，證明： ；

（2）若，證明： ；

（3）在（1），（2）的條件下，求三棱錐的體積。

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