Question

在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)P（1，2）的直線與x軸和y軸的正半軸圍成的三角形的面積的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的截距式方程

專題：直線與圓

分析：設(shè)過點(diǎn)P（1，2）的直線方程為y-2=k（x-1），k＜0，由已知條件推導(dǎo)出過點(diǎn)P（1，2）的直線與x軸和y軸的正半軸圍成的三角形的面積S=

1

2

（2-k）（1-

2

k

），從而利用均值定理能求出結(jié)果．

解答： 解：設(shè)過點(diǎn)P（1，2）的直線方程為y-2=k（x-1），
由題意知k＜0，
由x=0，得y=2-k，
由y=0，得x=1-

2

k

，
∴過點(diǎn)P（1，2）的直線與x軸和y軸的正半軸圍成的三角形的面積：
S=

1

2

（2-k）（1-

2

k

）
=1-

k

2

-

2

k

+1
≥2+2

(- k 2 )•(- 2 k )

=4，
當(dāng)且僅當(dāng)-

k

2

=-

2

k

，即k=-2時(shí)，取“=”．
∴過點(diǎn)P（1，2）的直線與x軸和y軸的正半軸圍成的三角形的面積的最小值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形面積的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值定理的合理運(yùn)用．