Question

已知過點(diǎn)A（3，-2）的直線l交x軸正半軸于點(diǎn)B，交直線l₁：x-2y=0于點(diǎn)C，且|AB|=2|BC|，則直線l在y軸上的截距是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的截距式方程

專題：直線與圓

分析：當(dāng)直線l斜率k不存在時(shí)，直線l的方程為x=3，不符合條件．當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)l的解析式為y+2=k（x-3），即y=kx-3k-2，由已知條件利用兩個直角三角形是相似三角形所以斜邊長之比等于直角邊之比，能求出結(jié)果．

解答： 解：當(dāng)直線l斜率k不存在時(shí)，
直線l的方程為x=3，
則交x軸正半軸于點(diǎn)B（3，0），
交直線l₁：x-2y=0于點(diǎn)C（3，

3

2

），
則|AB|=2，|BC|=

3

2

不符合條件．
當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)l的解析式為y+2=k（x-3），即y=kx-3k-2，
則直線l交x軸正半軸于點(diǎn)B（

2

k

+3，0），
交直線l₁：x-2y=0于點(diǎn)C（

6k+4

2k-1

，

3k+2

2k-1

），
分別過A點(diǎn)和C點(diǎn)做x軸的垂線，我們發(fā)現(xiàn)AB：BC=y_A：y_C，
（兩個直角三角形是相似三角形所以斜邊長之比等于直角邊之比），
∵|AB|=2|BC|，
∴

|-2|

| 3k+2 2k-1 |

=2，解得k=-3或k=-

1

5

（舍），
∴k=-3，∴y軸上的截距為-3k-2=9-2=7．
故答案為：7．

點(diǎn)評：本題考查直線在y軸上截距的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．