【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+b(a,b∈R),曲線f(x)在x=1處的切線方程為x﹣y﹣1=0.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)證明: ;
(Ⅲ)已知滿足xlnx=1的常數(shù)為k.令函數(shù)g(x)=mex+f(x)(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e=2.71828…),若x=x0是g(x)的極值點(diǎn),且g(x)≤0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)f(x)的導(dǎo)函數(shù) ,
由曲線f(x)在x=1處的切線方程為x﹣y﹣1=0,知f'(1)=1,f(1)=0,
所以a=1,b=0.
(Ⅱ)令 = ,則 = ,
當(dāng)0<x<1時(shí),u'(x)<0,u(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>1時(shí),u'(x)>0,u(x)單調(diào)遞增,
所以,當(dāng)x=1時(shí),u(x)取得極小值,也即最小值,該最小值為u(1)=0,
所以u(píng)(x)≥0,即不等式 成立.
(Ⅲ)函數(shù)g(x)=mex+lnx(x>0),則 ,
當(dāng)m≥0時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,g(x)無(wú)極值,不符合題意;
當(dāng)m<0時(shí),由 ,得 ,
結(jié)合y=ex, 在(0,+∞)上的圖象可知,關(guān)于x的方程 一定有解,其解為x0(x0>0),且當(dāng)0<x<x0時(shí),g'(x)>0,g(x)在(0,x0)內(nèi)單調(diào)遞增;
當(dāng)x>x0時(shí),g'(x)<0,g(x)在(x0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.
則x=x0是函數(shù)g(x)的唯一極值點(diǎn),也是它的唯一最大值點(diǎn),x=x0也是g'(x)=0在(0,+∞)上的唯一零點(diǎn),即 ,則 .
所以g(x)max=g(x0)= = .
由于g(x)≤0恒成立,則g(x)max≤0,即 ,(*)
考察函數(shù) ,則 ,
所以h(x)為(0,+∞)內(nèi)的增函數(shù),且 , ,
又常數(shù)k滿足klnk=1,即 ,
所以,k是方程 的唯一根,
于是不等式(*)的解為x0≤k,
又函數(shù) (x>0)為增函數(shù),故 ,
所以m的取值范圍是
【解析】(Ⅰ)求出導(dǎo)函數(shù),根據(jù)切線方程和導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系求出參數(shù)的值;
(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù) = ,通過(guò)導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的最小值,得出u(x)≥0,得出結(jié)論成立.(Ⅲ)求出導(dǎo)函數(shù) ,對(duì)參數(shù)m分類討論,得出函數(shù)的極值情況,得出函數(shù)的最大值,把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解;
,通過(guò)構(gòu)造函數(shù) ,結(jié)合題意得出x0≤k,構(gòu)造函數(shù) ,得出m的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x2﹣ax﹣lnx,a∈R.
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線斜率為1,求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)當(dāng)a≥﹣1時(shí),記f(x)的極小值為H,求H的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知矩形ADEF和菱形ABCD所在平面互相垂直,如圖,其中AF=1,AD=2,∠ADC= ,點(diǎn)N時(shí)線段AD的中點(diǎn).
(Ⅰ)試問(wèn)在線段BE上是否存在點(diǎn)M,使得直線AF∥平面MNC?若存在,請(qǐng)證明AF∥平面MNC,并求出 的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅱ)求二面角N﹣CE﹣D的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣ |+|x+m|,(m>0)
(I)證明:f(x)≥4
(II)若f(1)>5,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣1)ex+ (其中a∈R)有兩個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓的方程為x2+y2﹣6x=0,過(guò)點(diǎn)(1,2)的該圓的三條弦的長(zhǎng)a1 , a2 , a3構(gòu)成等差數(shù)列,則數(shù)列a1 , a2 , a3的公差的最大值是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的最小正周期為π,且f(﹣x)=f(x),則( )
A.f(x)在(0, )單調(diào)遞增
B.f(x)在( , )單調(diào)遞減
C.f(x)在( , )單調(diào)遞增
D.f(x)在( ,π)單調(diào)遞增
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果存在常數(shù)a,使得數(shù)列{an}滿足:若x是數(shù)列{an}中的一項(xiàng),則a﹣x也是數(shù)列{an}中的一項(xiàng),稱數(shù)列{an}為“兌換數(shù)列”,常數(shù)a是它的“兌換系數(shù)”.
(1)若數(shù)列:2,3,6,m(m>6)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,求m和a的值;
(2)已知有窮等差數(shù)列{bn}的項(xiàng)數(shù)是n0(n0≥3),所有項(xiàng)之和是B,求證:數(shù)列{bn}是“兌換數(shù)列”,并用n0和B表示它的“兌換系數(shù)”;
(3)對(duì)于一個(gè)不少于3項(xiàng),且各項(xiàng)皆為正整數(shù)的遞增數(shù)列{cn},是否有可能它既是等比數(shù)列,又是“兌換數(shù)列”?給出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知 =( sin ,cos , =(cos ,cos ),f(x)= .
(1)若函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若a,b,c分別是△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,且a=2,(2a﹣b)cosC=ccosB, ,求c.
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