Question

交通銀行向市場推出甲、乙兩種理財產(chǎn)品，若投資甲、乙兩種理財產(chǎn)品分別為p，q萬元，到期后獲得的收益分別為

1

10

p，

2

5

lnq萬元，且要求每種產(chǎn)品的投資起點都不低于1萬元．現(xiàn)在張老師把10萬元全部用于投資這兩種理財產(chǎn)品．
（Ⅰ）若張老師投資了乙種理財產(chǎn)品為8萬元，求到期后張老師獲得的總收益；
（Ⅱ）請你設(shè)計一個投資方案，使得到期后張老師獲得的總收益最大，并求出其最大總收益．（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7）

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）直接列式計算即可求得；
（2）由題意列出函數(shù)式，利用導(dǎo)數(shù)即可求得定區(qū)間上的函數(shù)的最大值．

解答： 解：（Ⅰ） 張老師得到的總收益為：

1

10

×（10-8）+

2

5

ln8=

6

5

ln2+0.2=1.2×0.7+0.2=1.04萬元．
（Ⅱ）設(shè)張老師投資乙理財產(chǎn)品為x萬元（1≤x≤9），到期后獲得的總收益為y萬元，則投資甲理財產(chǎn)品為10-x萬元，由題意得
y=

1

10

（10-x）+

2

5

lnx=

2

5

lnx-

1

10

x+1，y′=

2

5x

-

1

10

，由y′=0得x=4．
當(dāng)x∈[1，4）時，y′＞0；當(dāng)x∈（4，9]時，y′＜0，故當(dāng)x=4時，y取最大值，y_max=

2

5

ln4-0.4+1≈1.16．
故投資甲、乙兩種理財產(chǎn)品分別為6萬元和4萬元時，得到的總收益最大，最大總收益約為1.16萬元．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，正確的審題列出函數(shù)式是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．