Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（

1

3

x+φ）（x∈R，0＜φ＜

π

2

）的圖象過點M（

π

2

，

3

）．
（1）求φ的值；
（2）設(shè)α，β∈[0，

π

2

]，f（3α+π）=

10

13

，f（3β+

5π

2

）=-

6

5

，求sin（α-β）的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）依題意求得sin（

π

6

+φ）=

3

2

，結(jié)合0＜φ＜

π

2

求得φ的值．
（2）由條件求得cosα=

5

13

，sinβ=

3

5

．根據(jù)α，β∈[0，

π

2

]，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得inα 和cosβ 的值，從而求得 sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ 的值．

解答： 解：（1）依題意得2sin（

π

6

+φ）=

3

，即sin（

π

6

+φ）=

3

2

，
∵0＜φ＜

π

2

，∴

π

6

＜φ+

π

6

＜

2π

3

，∴φ+

π

6

=

π

3

，φ=

π

6

．
（2）∵f（3α+π）=2sin（α+

π

2

）=2cosα=

10

13

，∴cosα=

5

13

．
∵f（3β+

5π

2

）=2sin（β+π）=-2sinβ=-

6

5

，∴sinβ=

3

5

．
∵α，β∈[0，

π

2

]，∴sinα=

1-cos2α

=

12

13

，cosβ=

1-sin2β

=

4

5

，
∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=

12

13

×

4

5

-

5

13

×

3

5

=

33

65

．

點評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公公式的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．