Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=e^x-ax，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）若f（x）在（2，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且g（x）在（2，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；
（2）若g（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性與g（x）在（2，+∞）上有最小值，即可求a的取值范圍；
（2）先確定a≤1，令f（x）=0，a=

lnx

x

，設(shè)h(x)=

lnx

x

，求導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象，即可求f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）f（x）在（2，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
則當(dāng)x∈（2，+∞），f′（x）=

1

x

-a≤0恒成立，a≥

1

x

恒成立，
∴a≥(

1

x

)max=

1

2

．
令g′（x）=e^x-a=0，得x=ln a．
當(dāng)x＜ln a時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x＞ln a時(shí)，g′（x）＞0．
又g（x）在（2，+∞）上有最小值，
所以ln a＞2，即a＞e²．
綜上，有a∈（e²，+∞）．
（2）當(dāng)x∈（0，+∞），g′（x）=e^x-a≥0恒成立，a≤（e^x）_min，∴a≤1
令f（x）=0，a=

lnx

x

，設(shè)h(x)=

lnx

x

，h/(x)=

1-lnx

x2

(x＞0)，
令h′（x）=0，x=e
當(dāng)x∈（0，e），h′（x）＞0，h（x）在（0，e）上單調(diào)遞增
當(dāng)x∈（e，+∞），h′（x）＜0，h（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減，
∴h(x)的最大值為h(e)=

1

e

h（x）的大致圖象如圖所示：

當(dāng)

1

e

＜a≤1時(shí)無(wú)零點(diǎn)，0＜a＜

1

e

時(shí)，兩個(gè)零點(diǎn)，a≤0，a=

1

e

時(shí)一個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．