Question

【題目】如圖，已知三棱柱，側(cè)面.

(Ⅰ)若分別是的中點(diǎn)，求證： ；

(Ⅱ)若三棱柱的各棱長(zhǎng)均為2，側(cè)棱與底面所成的角為，問在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面?若存在，求與的比值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）2

【解析】試題分析：（1）由線面平行的判定定理證明，MN∥BC1，所以MN∥平面BCC1B1.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解。

試題解析：

解：(1)證明：連接AC1，BC1，

則AC1∩A1C＝N，AN＝NC1，

因?yàn)?/span>AM＝MB，所以MN∥BC1.

又BC1平面BCC1B1，

所以MN∥平面BCC1B1.

(2)作B1O⊥BC于O點(diǎn)，連接AO，

因?yàn)槠矫?/span>BCC1B1⊥底面ABC，

所以B1O⊥平面ABC，

以O為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，，0)，B(－1，0,0)，C(1,0,0)，B1(0,0，)．由＝＝，可求出A1(1，，)，C1(2,0，)，

設(shè)點(diǎn)P(x，y，z)， ＝λ.

則P，

＝，

＝(－1,0，)．

設(shè)平面B1CP的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，

由

得

令z1＝1，解得n1＝.

同理可求出平面ACC1A1的法向量n2＝(，1，－1)．

由平面B1CP⊥平面ACC1A1，

得n1·n2＝0，即3＋－1＝0，

解得λ＝3，所以A1C1＝3A1P，

從而C1P∶PA1＝2.