已知兩點及,點在以、為焦點的橢圓上,且、、構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖7,動直線與橢圓有且僅有一個公共點,點是直線上的兩點,且,. 求四邊形面積的最大值.
(1)橢圓的方程為.(2)以四邊形的面積的最大值為。
解析試題分析:(1)依題意,設(shè)橢圓的方程為.
構(gòu)成等差數(shù)列,
, .
又,.
橢圓的方程為. 4分
(2) 將直線的方程代入橢圓的方程中,得. 5分
由直線與橢圓僅有一個公共點知,,
化簡得:. 7分
設(shè),, 9分
(法一)當(dāng)時,設(shè)直線的傾斜角為,
則,
,
, 11分
,當(dāng)時,,,.
當(dāng)時,四邊形是矩形,. 13分
所以四邊形面積的最大值為. 14分
(法二),
.
.
四邊形的面積, 11分
. 13分
當(dāng)且僅當(dāng)時,,故.
所以四邊形的面積的最大值為. 14分
考點:本題主要考查等差數(shù)列,橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,面積計算。
點評:中檔題,曲線關(guān)系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求橢圓、標(biāo)準(zhǔn)方程時,主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)。解題過程中,運(yùn)用等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識求得了a,b,c的關(guān)系。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,線段的兩個端點、分別分別在軸、軸上滑動,,點是上一點,且,點隨線段的運(yùn)動而變化.
(1)求點的軌跡方程;
(2)設(shè)為點的軌跡的左焦點,為右焦點,過的直線交的軌跡于兩點,求的最大值,并求此時直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
雙曲線與橢圓有相同的焦點,且該雙曲線
的漸近線方程為.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2) 過該雙曲線的右焦點作斜率不為零的直線與此雙曲線的左,右兩支分別交于點、,
設(shè),當(dāng)軸上的點滿足時,求點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某同學(xué)用《幾何畫板》研究拋物線的性質(zhì):打開《幾何畫板》軟件,繪制某拋物線,在拋物線上任意畫一個點,度量點的坐標(biāo),如圖.
(Ⅰ)拖動點,發(fā)現(xiàn)當(dāng)時,,試求拋物線的方程;
(Ⅱ)設(shè)拋物線的頂點為,焦點為,構(gòu)造直線交拋物線于不同兩點、,構(gòu)造直線、分別交準(zhǔn)線于、兩點,構(gòu)造直線、.經(jīng)觀察得:沿著拋物線,無論怎樣拖動點,恒有.請你證明這一結(jié)論.
(Ⅲ)為進(jìn)一步研究該拋物線的性質(zhì),某同學(xué)進(jìn)行了下面的嘗試:在(Ⅱ)中,把“焦點”改變?yōu)槠渌岸c”,其余條件不變,發(fā)現(xiàn)“與不再平行”.是否可以適當(dāng)更改(Ⅱ)中的其它條件,使得仍有“”成立?如果可以,請寫出相應(yīng)的正確命題;否則,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)拋物線,為焦點,為準(zhǔn)線,準(zhǔn)線與軸交點為
(1)求;
(2)過點的直線與拋物線交于兩點,直線與拋物線交于點.
①設(shè)三點的橫坐標(biāo)分別為,計算:及的值;
②若直線與拋物線交于點,求證:三點共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知為拋物線的焦點,點為拋物線內(nèi)一定點,點為拋物線上一動點,最小值為8.
(1)求該拋物線的方程;
(2)若直線與拋物線交于、兩點,求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題共14分)
已知橢圓C:,左焦點,且離心率
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓C交于不同的兩點(不是左、右頂點),且以為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂點A. 求證:直線過定點,并求出定點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的方程為,點P的坐標(biāo)為(-a,b).
(1)若直角坐標(biāo)平面上的點M、A(0,-b),B(a,0)滿足,求點的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線交橢圓于、兩點,交直線于點.若,證明:為的中點;
(3)對于橢圓上的點Q(a cosθ,b sinθ)(0<θ<π),如果橢圓上存在不同的兩個交點、滿足,寫出求作點、的步驟,并求出使、存在的θ的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分,(Ⅰ)小問3分,(Ⅱ)小問9分.)
直線稱為橢圓的“特征直線”,若橢圓的離心率.(1)求橢圓的“特征直線”方程;
(2)過橢圓C上一點作圓的切線,切點為P、Q,直線PQ與橢圓的“特征直線”相交于點E、F,O為坐標(biāo)原點,若取值范圍恰為,求橢圓C的方程.
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