某同學(xué)用《幾何畫板》研究拋物線的性質(zhì):打開《幾何畫板》軟件,繪制某拋物線,在拋物線上任意畫一個點(diǎn),度量點(diǎn)的坐標(biāo),如圖.
(Ⅰ)拖動點(diǎn),發(fā)現(xiàn)當(dāng)時,,試求拋物線的方程;
(Ⅱ)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為,焦點(diǎn)為,構(gòu)造直線交拋物線于不同兩點(diǎn)、,構(gòu)造直線、分別交準(zhǔn)線于、兩點(diǎn),構(gòu)造直線、.經(jīng)觀察得:沿著拋物線,無論怎樣拖動點(diǎn),恒有.請你證明這一結(jié)論.
(Ⅲ)為進(jìn)一步研究該拋物線的性質(zhì),某同學(xué)進(jìn)行了下面的嘗試:在(Ⅱ)中,把“焦點(diǎn)”改變?yōu)槠渌岸c(diǎn)”,其余條件不變,發(fā)現(xiàn)“與不再平行”.是否可以適當(dāng)更改(Ⅱ)中的其它條件,使得仍有“”成立?如果可以,請寫出相應(yīng)的正確命題;否則,說明理由.
(Ⅰ)
(Ⅱ)設(shè)出直線方程,點(diǎn)的坐標(biāo),聯(lián)立方程組證明,所以
(Ⅲ)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為,定點(diǎn),過點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn),直線、分別交直線于、兩點(diǎn),則
解析試題分析:解法一:(Ⅰ)把,代入,得, 2分
所以, 3分
因此,拋物線的方程. 4分
(Ⅱ)因?yàn)閽佄锞的焦點(diǎn)為,設(shè),
依題意可設(shè)直線,
由得,則 ① 6分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/41/6/qkwlc2.png" style="vertical-align:middle;" />,,所以,,
所以,, 7分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d4/f/18pew2.png" style="vertical-align:middle;" /> 8分
, ②
把①代入②,得, 10分
即,
所以,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a2/c/1n2qo4.png" style="vertical-align:middle;" />、、、四點(diǎn)不共線,所以. 11分
(Ⅲ)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為,定點(diǎn),過點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn),直線、分別交直線于、兩點(diǎn),則 . 14分
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)因?yàn)閽佄锞的焦點(diǎn)為,設(shè), &n
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓:()過點(diǎn),其左、右焦點(diǎn)分別為,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)若是直線上的兩個動點(diǎn),且,則以為直徑的圓是否過定點(diǎn)?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知直線過定點(diǎn),動點(diǎn)滿足,動點(diǎn)的軌跡為.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)直線與交于兩點(diǎn),以為切點(diǎn)分別作的切線,兩切線交于點(diǎn).
①求證:;②若直線與交于兩點(diǎn),求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知雙曲線的離心率且點(diǎn)在雙曲線C上.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)記O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F,若△OEF的面積為求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,設(shè)拋物線()的準(zhǔn)線與軸交于,焦點(diǎn)為;以、為焦點(diǎn),離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個交點(diǎn)為.
(1)當(dāng)時,求橢圓的方程;
(2)在(1)的條件下,直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn),與拋物線交于、,如果以線段為直徑作圓,試判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)是否存在實(shí)數(shù),使得的邊長是連續(xù)的自然數(shù),若存在,求出這樣的實(shí)數(shù);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知兩點(diǎn)及,點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上,且、、構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖7,動直線與橢圓有且僅有一個公共點(diǎn),點(diǎn)是直線上的兩點(diǎn),且,. 求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題13分)在平面直角坐標(biāo)系中,是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過三點(diǎn)的圓的圓心為,點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)是否存在點(diǎn),使得直線與拋物線相切于點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)己知、、是橢圓:()上的三點(diǎn),其中點(diǎn)的坐標(biāo)為,過橢圓的中心,且,。
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)的直線(斜率存在時)與橢圓交于兩點(diǎn),,設(shè)為橢圓與 軸負(fù)半軸的交點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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