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已知函數f(x)=sin
x
2
cos
x
2
+
1
2
sin(x+
π
2
)

(1)寫出f(x)的最小正周期以及單調區(qū)間;
(2)若函數h(x)=cos(x+
4
)
,求函數y=log2(f(x)•h(x))的最大值,以及使其取得最大值的x的集合.
(1)f(x)=
1
2
sinx+
1
2
cosx=
2
2
sin(x+
π
4
),
∵ω=1,∴T=2π;
令-
π
2
+2kπ≤x+
π
4
π
2
+2kπ,k∈Z,解得:-
4
+2kπ≤x≤
π
4
+2kπ,k∈Z,
π
2
+2kπ≤x+
π
4
2
+2kπ,k∈Z,解得:
π
4
+2kπ≤x+
π
4
4
+2kπ,k∈Z,
則f(x)的單調遞增區(qū)間為[-
4
+2kπ,
π
4
+2kπ],k∈Z;單調遞減區(qū)間為[
π
4
+2kπ,
4
+2kπ],k∈Z;
(2)∵f(x)•h(x)=
2
2
sin(x+
π
4
)cos(x+
4

=-
2
2
sin(x+
π
4
)cos(x+
π
4
)=-
2
4
sin(2x+
π
2
)=-
2
4
cos2x,
∴y=log2(f(x)•h(x))=log2(-
2
4
cos2x),
∴ymax=log2
2
4
=-
3
2
,
當cos2x=-1,即x={x|x=
π
2
+kπ,k∈Z}時,y取得最大值.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

設△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且.
(1)求角A的大小; (2)若,求△ABC的周長L的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

中,角所對的邊為,且滿足
(1)求角的值;(2)若,求的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

(本題滿分12分)已知向量
(1)求的值; (2)若的值。

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

已知cosα=
1
3
,cosβ=
7
9
,且α,β∈(0,
π
2
),則cos(α-β)=( 。
A.-
1
2
B.
23
27
C.
1
2
D.-
23
27

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知函數f(x)=2cos2
x
2
+sinx-1

(1)求函數f(x)的最小正周期和值域;
(2)若x∈(
π
2
,
4
)
,且f(x)=
1
5
,求sinx的值.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

△ABC中,若sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,則△ABC是( 。
A.銳角三角形
B.直角三角形
C.鈍角三角形
D.直角三角形或鈍角三角形

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知函數f(x)=2cosx(sinx+cosx),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期T;
(2)求f(x)的最大值,并求f(x)取最大值時自變量x的集合.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

有一道解三角形的題因紙張破損,有一條件不清,且具體如下:在△ABC中,已知,B=     ,求角A.經推斷破損處的條件為三角形一邊的長度,且答案提示A=,請將條件補完整.

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