對定義在上,并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)稱為函數(shù)。
①對任意的,總有;
②當(dāng)時,總有成立。
已知函數(shù)與是定義在上的函數(shù)。
(1)試問函數(shù)是否為函數(shù)?并說明理由;
(2)若函數(shù)是函數(shù),求實數(shù)的值;
(3)在(2)的條件下,討論方程解的個數(shù)情況。
(1)函數(shù)是函數(shù),(2) (3)
解析試題分析:
(1)根據(jù)函數(shù)的定義,驗證函數(shù)的兩個條件,即可判斷;
(2)根據(jù)因為函數(shù)是函數(shù),利用函數(shù)的兩個條件,即可求得實數(shù)的值;
(3)根據(jù)(2)知,原方程可以化為,再利用換元法,即可求實數(shù)的取值范圍.
對考查新定義的題要與熟悉的已知函數(shù)性質(zhì)比較,參考其性質(zhì)及運算特征進行計算,對新定義熟悉性質(zhì)后求參數(shù)的取值,把方程解的情況轉(zhuǎn)化成求值域,利用換元法、配方法求函數(shù)的值域;解題的關(guān)鍵是正確理解新定義.
試題解析:
(1)當(dāng)時,總有滿足①
當(dāng)時
滿足②
所以函數(shù)是函數(shù).
(2)
Ⅰ當(dāng)時,不滿足①,所以不是是函數(shù)
Ⅱ當(dāng)時,在上是增函數(shù),則,滿足①
由,得
即
因為
所以,與不同時等于1
所以
所以
當(dāng)時, 即于是
綜上所述:
(3) 根據(jù)(2)知,原方程可以化為
由得
令,則在單調(diào)遞增且值域為
所以,當(dāng)時,方程有一解
當(dāng)時方程無解
考點:函數(shù)恒成立問題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
我國西部某省4A級風(fēng)景區(qū)內(nèi)住著一個少數(shù)民族村,該村投資了800萬元修復(fù)和加強民俗文化基礎(chǔ)設(shè)施,據(jù)調(diào)查,修復(fù)好村民俗文化基礎(chǔ)設(shè)施后,任何一個月內(nèi)(每月按30天計算)每天的旅游人數(shù)與第x天近似地滿足(千人),且參觀民俗文化村的游客人均消費近似地滿足(元).
(1)求該村的第x天的旅游收入(單位千元,1≤x≤30,)的函數(shù)關(guān)系;
(2)若以最低日收入的20%作為每一天的計量依據(jù),并以純收入的5%的稅率收回投資成本,試問該村在兩年內(nèi)能否收回全部投資成本?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)若,當(dāng)時,求的取值范圍;
(2)若定義在上奇函數(shù)滿足,且當(dāng)時,,求在上的反函數(shù);
(3)對于(2)中的,若關(guān)于的不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(1)若x=2為的極值點,求實數(shù)a的值;
(2)若在上為增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在一條筆直的工藝流水線上有個工作臺,將工藝流水線用如圖所示的數(shù)軸表示,各工作臺的坐標(biāo)分別為,,,,每個工作臺上有若干名工人.現(xiàn)要在流水線上建一個零件供應(yīng)站,使得各工作臺上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和最短.
(Ⅰ)若,每個工作臺上只有一名工人,試確定供應(yīng)站的位置;
(Ⅱ)若,工作臺從左到右的人數(shù)依次為,,,,,試確定供應(yīng)站的位置,并求所有工人到供應(yīng)站的距離之和的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知偶函數(shù)滿足:當(dāng)時,,當(dāng)時,.
(1)求當(dāng)時,的表達(dá)式;
(2)試討論:當(dāng)實數(shù)滿足什么條件時,函數(shù)有4個零點,且這4個零點從小到大依次構(gòu)成等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
一種放射性元素,最初的質(zhì)量為,按每年衰減.
(1)求年后,這種放射性元素的質(zhì)量與的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求這種放射性元素的半衰期(質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/99/3/t3b2c1.png" style="vertical-align:middle;" />時所經(jīng)歷的時間).()
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