【題目】橢圓C: 的左右焦點(diǎn)分別是F1 , F2 , 離心率為 ,過(guò)F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn),連接PF1 , PF2 , 設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M(m,0),求m的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線l,使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),設(shè)直線PF1 , PF2的斜率分別為k1 , k2 , 若k≠0,試證明 為定值,并求出這個(gè)定值.
【答案】
(1)解:把﹣c代入橢圓方程得 ,解得 ,
∵過(guò)F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1,∴ .
又 ,聯(lián)立得 解得 ,
∴橢圓C的方程為
(2)解:如圖所示,設(shè)|PF1|=t,|PF2|=n,
由角平分線的性質(zhì)可得 ,
又t+n=2a=4,消去t得到 ,化為 ,
∵a﹣c<n<a+c,即 ,也即 ,解得 .
∴m的取值范圍;
(3)解:證明:設(shè)P(x0,y0),
不妨設(shè)y0>0,由橢圓方程 ,
取 ,則 = ,
∴k= = .
∵ , ,
∴ = ,
∴ = =﹣8為定值.
【解析】(1)把﹣c代入橢圓方程得 ,解得 ,由已知過(guò)F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1,可得 .再利用 ,及a2=b2+c2即可得出;(2)設(shè)|PF1|=t,|PF2|=n,由角平分線的性質(zhì)可得 ,利用橢圓的定義可得t+n=2a=4,消去t得到 ,化為 ,再根據(jù)a﹣c<n<a+c,即可得到m的取值范圍;(3)設(shè)P(x0 , y0),不妨設(shè)y0>0,由橢圓方程 ,取 ,利用導(dǎo)數(shù)即可得到切線的斜率,再利用斜率計(jì)算公式即可得到k1 , k2 , 代入即可證明結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著手機(jī)的普及,大學(xué)生迷戀手機(jī)的現(xiàn)象非常嚴(yán)重.為了調(diào)查雙休日大學(xué)生使用手機(jī)的時(shí)間,某機(jī)構(gòu)采用不記名方式隨機(jī)調(diào)查了使用手機(jī)時(shí)間不超過(guò)小時(shí)的名大學(xué)生,將人使用手機(jī)的時(shí)間分成組:,,,,分別加以統(tǒng)計(jì),得到下表,根據(jù)數(shù)據(jù)完成下列問(wèn)題:
使用時(shí)間/時(shí) | |||||
大學(xué)生/人 |
(1)完成頻率分布直方圖;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)大學(xué)生使用手機(jī)的平均時(shí)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線C1: 的焦點(diǎn)與雙曲線C2: 的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線,則p=( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一組樣本點(diǎn),其中.根據(jù)最小二乘法求得的回歸方程是,則下列說(shuō)法正確的是( )
A. 若所有樣本點(diǎn)都在上,則變量間的相關(guān)系數(shù)為1
B. 至少有一個(gè)樣本點(diǎn)落在回歸直線上
C. 對(duì)所有的預(yù)報(bào)變量,的值一定與有誤差
D. 若斜率,則變量與正相關(guān)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系,對(duì)該校200名高三學(xué)生平均每天課外體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行調(diào)查,如表:(平均每天鍛煉的時(shí)間單位:分鐘)
平均每天鍛煉的時(shí)間/分鐘 | ||||||
總?cè)藬?shù) | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
將學(xué)生日均課外體育鍛煉時(shí)間在的學(xué)生評(píng)價(jià)為“課外體育達(dá)標(biāo)”.
(1)請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面的列聯(lián)表;
課外體育不達(dá)標(biāo) | 課外體育達(dá)標(biāo) | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合計(jì) |
(2)通過(guò)計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“課外體育達(dá)標(biāo)”性別有關(guān)?
參考公式,其中
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,,,,,設(shè)的外接圓圓心為.
(1)若與直線相切,求實(shí)數(shù)的值;
(2)設(shè)點(diǎn)在上,使的面積等于12的點(diǎn)有且只有三個(gè),試問(wèn)這樣的是否存在?若存在求出的標(biāo)準(zhǔn)方程;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求的極值;
(2)當(dāng)時(shí),證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有( )
①用刻畫(huà)回歸效果,當(dāng)越大時(shí),模型的擬合效果越差;反之,則越好;
②命題“,”的否定是“,”;
③若回歸直線的斜率估計(jì)值是,樣本點(diǎn)的中心為,則回歸直線方程是;
④綜合法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題是“由因索果”,分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題是“執(zhí)果索因”。
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為 (其中為參數(shù)).現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫(xiě)出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)求直線被曲線截得的線段的長(zhǎng)度.
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