Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為 (其中為參數）.現以坐標原點為極點， 軸的非負半軸為極軸建立極坐標標系，曲線的極坐標方程為.

（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）求直線被曲線截得的線段的長度.

Answer 1

【答案】(1) ， .

(2) .

【解析】分析：(1) 直線的參數方程利用代入法消去參數直線的普通方程為 ，

由得,利用 可得曲線的直角坐標方程；（2）將代入并化簡得,利用韋達定理結合直線參數方程的幾何意義即可得結果.

詳解：(1)由消去參數t,可得，

故直線的普通方程為

由得,由即得

可得即,

故曲線的直角坐標方程為

(2)方法一:由(1)可知曲線表示(0,2)為圓心,2為半徑的圓,

其中圓心到直線的距離為

所以直線被曲線截得的線段的長度為.

方法二:將代入并化簡得,

因為直線過點P(0,1),所以設直線與曲線C的兩交點分別為A,B

且,所以,

所以

故直線被曲線截得的線段的長度為.