Question

設(shè)f（x）滿足f（-sinx）+3f（sinx）=4sinx•cosx（|x|≤

π

2

）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）要求函數(shù)的解析式，先將x用“-x”替換，得到關(guān)于“sinx”的關(guān)系式，再利用換元法得到函數(shù)f（x）的解析式；（2）利用基本不等式可以求出函數(shù)的最大值．

解答： 解：（1）∵f（-sinx）+3f（sinx）=4sinx•cosx（|x|≤

π

2

）． ①
∴將x用“-x”代入，得到：
f[-sin（-x）]+3f[sin（-x）]=4sin（-x）•cos（-x），
即f（sinx）+3f（-sinx）=-4sinx•cosx．②
再將①×3-②得：
8f（sinx）=16sinx•cosx，
f（sinx）=2sinx•cosx．
∵|x|≤

π

2

，
∴cosx=

1-sin2x

．
∴f(sinx)=2sinx

1-sin2x

．
令sinx=t，則有：f(t)=2t

1-t2

 ， t∈[-1，1]．
即f(x)=2x

1-x2

 ， x∈[-1，1]．
（2）∵2ab≤a²+b²（a＞0，b＞0），
∴當(dāng)x＞0時(shí)，2x

1-x2

≤x2+(1-x2)=1，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

1-x2

，即x=

2

2

時(shí)取等號(hào)．
∵

2

2

∈[-1，1]，
∴可以取到最大值．
∴f（x）的最大值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的解析式和最值的求法，利用函數(shù)方程思想和換元法求函數(shù)的解析式，利用基本不等式求函數(shù)的最值，注意不等式取等號(hào)的條件．本題有一定的綜合性，屬于中檔題．