Question

在底面是菱形的四棱錐S-ABCD中，SA=SC=2a，SB=SD=

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a，E是SC上的一點且SE=λa（0＜λ≤a），求證：對任意λ∈（0，a]，都有BD⊥AE．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：連結(jié)BD，AC交與點O，連結(jié)SO，由四邊形ABCD為菱形，推斷出O為AC，BD的中點，又SA=SC，SB=SD可知SO⊥AC，SO⊥BD，利用線面垂直的判定定理推斷出SO⊥平面ABCD，進而利用線面垂直的性質(zhì)推斷出BD⊥SO，又BD⊥AC利用線面垂直的判定定理可知BD⊥平面SAC，進而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知BD⊥AE．

解答： 證明：連結(jié)BD，AC交與點O，連結(jié)SO，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴O為AC，BD的中點
∵SA=SC，SB=SD
∴SO⊥AC，SO⊥BD，
∵AC∩BD=O，AC?平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴SO⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，
∴BD⊥SO，
∵BD⊥AC，AC∩SO=O，AC?平面SAC，SO?平面SAC，
∴BD⊥平面SAC，
又對任意λ∈（0，a]，AE?平面SAC，
∴BD⊥AE．

點評：本題主要考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)的應用．考查了學生對基礎(chǔ)定理和性質(zhì)的理解和記憶．