【題目】已知函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1﹣x)其中(a>0且a≠1).
(1)判斷f(x)﹣g(x)的奇偶性,并說明理由;
(2)求使f(x)﹣g(x)>0成立的x的集合.

【答案】
(1)解:f(x)﹣g(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x),若要式子有意義,

,即﹣1<x<1.所以所求定義域為{x|﹣1<x<1}.

設(shè)F(x)=f(x)﹣g(x),

則F(﹣x)=f(﹣x)﹣g(﹣x)=loga(﹣x+1)﹣log(1+x)=﹣[loga(x+1)﹣loga(1﹣x)]=﹣F(x),

所以f(x)﹣g(x)是奇函數(shù)


(2)解:f(x)﹣g(x)>0,即 loga(x+1)﹣loga(1﹣x)>0,loga(x+1)>loga(1﹣x).

當(dāng)0<a<1時,上述不等式等價于 ,解得﹣1<x<0;

當(dāng)a>1時,原不等式等價于 ,解得0<x<1.

綜上所述,當(dāng)0<a<1時,原不等式的解集為{x|﹣1<x<0};

當(dāng)a>1時,原不等式的解集為{x|0<x<1}


【解析】(1)首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱,定義域為{x|﹣1<x<1}關(guān)于原點對稱;利用定義法.
設(shè)F(x)=f(x)﹣g(x),判斷F(﹣x)=﹣F(x),得出結(jié)論;(2)利用函數(shù)的奇偶性整理不等式為loga(x+1)>loga(1﹣x),對底數(shù)a分類討論得出x的范圍,.

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(2)畫出函數(shù)f(x)在R上的圖象;

(3)寫出它的單調(diào)區(qū)間.

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