【題目】已知定義域為R的函數f(x)= 是奇函數.
(1)求a,b的值;
(2)判斷函數的單調性并證明;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求k的取值范圍.
【答案】
(1)解:因為f(x)為R上的奇函數,
所以f(0)=0,即 =0,解得b=1,
由f(﹣1)=﹣f(1),得 ,解得a=2,
所以a=2,b=1,
即有f(x)= 為奇函數,
故a=2,b=1
(2)解:f(x)為R上的減函數,證明如下:
由(1)知f(x)= =﹣ ,
設x1<x2,
則f(x1)﹣f(x2)=(﹣ )﹣(﹣ )= ,
因為x1<x2,所以 >0, ,2{x2+1>0,
所以f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)為減函數
(3)解:因為f(x)為奇函數,所以f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0可化為f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2),
又由(2)知f(x)為減函數,所以t2﹣2t>k﹣2t2,即3t2﹣2t>k恒成立,
而3t2﹣2t=3 ﹣ ,
所以k<
【解析】(1)由f(x)為R上的奇函數得f(0)=0,f(﹣1)=﹣f(1),解出方程可得a,b值;(2)由(1)知f(x)= =﹣ ,利用單調性定義可作出判斷;(3)由f(x)的奇偶性可得,f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0等價于f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2),根據單調性可去掉符號“f”,轉化為函數最值解決即可;
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的判斷方法和函數單調性的性質的相關知識點,需要掌握單調性的判定法:①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大小;③作差比較或作商比較;函數的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集才能正確解答此題.
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【題目】問題“求方程5x+12x=13x的解”有如下的思路:方程5x+12x=13x可變?yōu)椋? )x+( )x=1,考察函數f(x)=( )x+( )x可知f(2)=1,且函數f(x)在R上單調遞減,所以原方程有唯一解x=2.仿照此解法可得到不等式:lgx﹣4>2lg2﹣x的解集為 .
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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
在平面直角坐標系中直線的傾斜角為,且經過點,以坐標系的原點為極點, 軸的非負半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,直線與曲線相交于兩點,過點的直線與曲線相交于兩點,且.
(1)平面直角坐標系中,求直線的一般方程和曲線的標準方程;
(2)求證: 為定值.
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【題目】已知函數f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1﹣x)其中(a>0且a≠1).
(1)判斷f(x)﹣g(x)的奇偶性,并說明理由;
(2)求使f(x)﹣g(x)>0成立的x的集合.
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【題目】已知拋物線的準線為,焦點為, 為坐標原點.
(1)求過點,且與相切的圓的方程;
(2)過的直線交拋物線于兩點, 關于軸的對稱點為,求證:直線過定點.
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【題目】已知x,y滿足約束條件 ,當目標函數z=ax+by(a>0,b>0)在該約束條件下取到最小值2 時,a2+b2的最小值為( )
A.5
B.4
C.
D.2
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【題目】已知 , 的夾角為120°,| |=2,| |=3,記| =3 ﹣2 , =2 +k .
(1)若 ⊥ ,求實數k的值.
(2)是否存在實數k,使得 ∥ ?說明理由.
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