Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中直線(xiàn)的傾斜角為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，以坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，且．

（1）平面直角坐標(biāo)系中，求直線(xiàn)的一般方程和曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求證： 為定值．

Answer 1

【答案】（1）,（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線(xiàn)的一般方程，注意討論斜率不存在的情形；根據(jù)將曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，配方化為標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）利用直線(xiàn)參數(shù)方程幾何意義求弦長(zhǎng)：先列出直線(xiàn)參數(shù)方程，代入圓方程，根據(jù)及韋達(dá)定理可得，類(lèi)似可得，相加即得結(jié)論.

試題解析：解：（1）因?yàn)橹本�(xiàn)的傾斜角為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)垂直于軸，所以其一般方程為，

當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率為，所以其方程為，

即一般方程為．

因?yàn)?/span>的極坐標(biāo)方程為，所以，

因?yàn)?/span>，所以．

所以曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

代入曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

可得，即，

則，

所以，

同理，

所以．