Question

已知橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-1），在橢圓上存在一點(diǎn)Q，使|QF|+

4

5

|PQ|的值最小，此最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由橢圓的方程可得橢圓的左準(zhǔn)線l：x=-

25

4

，過點(diǎn)Q作QM⊥l交于點(diǎn)M，利用橢圓的第二定義可得

|QF|

|QM|

=

c

a

=

4

5

，因此|QF|=

4

5

|QM|，于是|QF|+

4

5

|PQ|=

4

5

|QM|+

4

5

|PQ|=

4

5

(|QM|+|PQ|)，要使|QF|+

4

5

|PQ|的值最小，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P、Q、M三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值．

解答： 解：如圖所示，由橢圓

x2

25

+

y2

9

=1可得a=5，b=3，c=

a2-b2

=4．
可得橢圓的左準(zhǔn)線l：x=-

25

4

，過點(diǎn)Q作QM⊥l交于點(diǎn)M，
由橢圓的第二定義可得

|QF|

|QM|

=

c

a

=

4

5

，
∴|QF|=

4

5

|QM|，
∴|QF|+

4

5

|PQ|=

4

5

|QM|+

4

5

|PQ|=

4

5

(|QM|+|PQ|)，
要使|QF|+

4

5

|PQ|的值最小，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P、Q、M三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值．
∴（|QM|+|PQ|）_min=|PM|=|2-(-

25

4

)|=

33

4

．
因此|QF|+

4

5

|PQ|的最小值=

4

5

×

33

4

=

33

5

，
故答案為：

33

5

．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力和計(jì)算能力及其轉(zhuǎn)化方法，屬于難題．