Question

已知曲線C₁：

x2

4

+

y2

4λ

=1，曲線C₂：

x2

4λ

+

y2

4λ2

=1(0＜λ＜1)．曲線C₂的左頂點(diǎn)恰為曲線C₁的左焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求λ的值；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀）為曲線C₂上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線交曲線C₁于A，C兩點(diǎn)．直線OP交曲線C₁于B，D兩點(diǎn)．若P為AC中點(diǎn)．
①求證：直線AC的方程為x₀x+2y₀y=2；
②求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出

4λ

=

4-4λ

，由此能求出λ=

1

2

．
（Ⅱ）①由已知條件推導(dǎo)出x02+2y02=2，直線OP：y=

y0

x0

x，聯(lián)立

y= y0 x0 x x2+2y2=4

，得B(

2

x0，

2

y0)，D(-

2

x0，-

2

y0)，由此能證明直線AC的方程為x₀x+2y₀y=2．
②聯(lián)立方程組

y=- x0 2y0 x+ 1 y0 x2+2y2=4

，得2x2-4x0x+4-8

y

2 0

=0，由此能求出四邊形ABCD的面積為4．

解答： （本題滿分15分）
（Ⅰ）解：∵曲線C₁：

x2

4

+

y2

4λ

=1，曲線C₂：

x2

4λ

+

y2

4λ2

=1(0＜λ＜1)，
曲線C₂的左頂點(diǎn)恰為曲線C₁的左焦點(diǎn)，
∴

4λ

=

4-4λ

，
解得λ=

1

2

（5分）
（Ⅱ）①證明：∵λ=

1

2

，∴C1：

x2

4

+

y2

2

=1，C2：

x2

2

+y2=1，
∵P（x₀，y₀）為曲線C₂上一點(diǎn)，
過點(diǎn)P作直線交曲線C₁于A，C兩點(diǎn)．直線OP交曲線C₁于B，D兩點(diǎn)．
∴x02+2y02=2，直線OP：y=

y0

x0

x，
聯(lián)立

y= y0 x0 x x2+2y2=4

，得B(

2

x0，

2

y0)，D(-

2

x0，-

2

y0)（7分）
由kOP•kAC=-

b2

a2

=-

1

2

AC：y-y0=k(x-x0)=-

x0

2y0

(x-x0)，
即x₀x+2y₀y=2，
y0=0，x0=±

2

，lAC：x=±

2

，
符合x₀x+2y₀y=2，
∴直線AC的方程為x₀x+2y₀y=2．（9分）
②解：聯(lián)立方程組

y=- x0 2y0 x+ 1 y0 x2+2y2=4

，
得(1+

x 2 0

2 y 2 0

)x2-

2x0

y 2 0

x+

2

y 2 0

-4=0，
即2x2-4x0x+4-8

y

2 0

=0（11分）
∴|AC|=

1+ x 2 0 4 y 2 0

|xA-xC|
=

1+ x 2 0 4 y 2 0

4 x 2 0 -8+16 y 2 0

=

1+ x 2 0 4 y 2 0

8 y 2 0

，
∵B，D到AC距離d1=

2 2 -2

x 2 0 +4 y 2 0

，d2=

2 2 +2

x 2 0 +4 y 2 0

（13分）
∴S=

1

2

|AC|•(d1+d2)=4，（14分）
當(dāng)y₀=0時(shí)，ABCD面積也為4．
綜上：四邊形ABCD的面積為4．（15分）

點(diǎn)評：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查直線方程的證明，考查四邊形面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．