Question

2014年年初，某微小企業(yè)開(kāi)發(fā)某項(xiàng)新產(chǎn)品，先期投入5萬(wàn)元啟動(dòng)資金，計(jì)劃兩年內(nèi)逐月增加投入，已知2014年1月份投入資金0.1萬(wàn)元，以后每月比上個(gè)月多投入資金0.1萬(wàn)元，若該產(chǎn)品每個(gè)月的利潤(rùn)組成數(shù)列{a_n}，a_n=

n 5 ，   n∈[1，12]，n∈N* 5 2 ，   n∈[13，24]，n∈N*

．
（Ⅰ）求前n個(gè)月的利潤(rùn)總和；
（Ⅱ）設(shè)第n個(gè)月的利潤(rùn)率b_n=

第n月利潤(rùn)

前n-1個(gè)月投入的資金總和

，求兩年內(nèi)哪一個(gè)月的利潤(rùn)率最大？并求出最大利潤(rùn)率．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用分段函數(shù)，可求前n個(gè)月的利潤(rùn)總和；
（Ⅱ）利用分段函數(shù)，分別求出第n個(gè)月的利潤(rùn)率，比較即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)前n個(gè)月的利潤(rùn)總和為y，則
1≤n≤12時(shí)，y=

1

5

•

n(1+n)

2

=

n(1+n)

10

；
13≤n≤24時(shí)，y=

12•13

10

+

5

2

（n-12）=

5

2

n-

72

5

，
∴y=

n(1+n) 10 ，n∈[1，12]，n∈N* 5 2 n- 72 5 ，n∈[13，14]，n∈N*

；
（Ⅱ）1≤n≤12時(shí)，a_n=

n

5

，前n-1個(gè)月投入的資金總和為5+（n-1）•0.1+

(n-1)(n-2)

2

•0.1=5+

n(n-1)

20

，
∴b_n=

n 5

5+ n(n-1) 20

=

4

100 n +n-1

∈[

1

25

，

4

19

]；
13≤n≤24時(shí)，a_n=

5

2

，前n-1個(gè)月投入的資金總和為5+（n-1）•0.1+

(n-1)(n-2)

2

•0.1=5+

n(n-1)

20

，
∴b_n=

5 2

5+ n(n-1) 20

∈[

25

326

，

25

128

]，
∵

4

19

＞

25

128

，∴n=10時(shí)，利潤(rùn)率最大為

4

19

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合運(yùn)用，屬于中檔題．