Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于直線l：ax+by+c=0和點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），記η=（ax₁+by₁+c）（ax₂+by₂+c），若η＜0，則稱(chēng)點(diǎn)P₁，P₂被直線l分隔，若曲線C與直線l沒(méi)有公共點(diǎn)，且曲線C上存在點(diǎn)P₁、P₂被直線l分隔，則稱(chēng)直線l為曲線C的一條分隔線．
（1）求證：點(diǎn)A（1，2），B（-1，0）被直線x+y-1=0分隔；
（2）若直線y=kx是曲線x²-4y²=1的分隔線，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)Q（0，2）的距離與到y(tǒng)軸的距離之積為1，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線E，求證：通過(guò)原點(diǎn)的直線中，有且僅有一條直線是E的分隔線．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程,真題集萃

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（1）把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入η=（ax₁+by₁+c）（ax₂+by₂+c），再根據(jù)η＜0，得出結(jié)論．
（2）聯(lián)立直線y=kx與曲線x²-4y²=1可得 （1-4k²）x²=1，根據(jù)此方程無(wú)解，可得1-4k²≤0，從而求得k的范圍．
（3）設(shè)點(diǎn)M（x，y），與條件求得曲線E的方程為[x²+（y-2）²]x²=1 ①．由于y軸為x=0，顯然與方程①聯(lián)立無(wú)解．把P₁、P₂的坐標(biāo)代入x=0，由η=1×（-1）=-1＜0，可得x=0是一條分隔線．

解答： （1）證明：把點(diǎn)（1，2）、（-1，0）分別代入x+y-1 可得（1+2-1）（-1-1）=-4＜0，
∴點(diǎn)（1，2）、（-1，0）被直線 x+y-1=0分隔．
（2）解：聯(lián)立直線y=kx與曲線x²-4y²=1可得 （1-4k²）x²=1，根據(jù)題意，此方程無(wú)解，故有 1-4k²≤0，
∴k≤-

1

2

，或 k≥

1

2

．
（3）證明：設(shè)點(diǎn)M（x，y），則

x2+(y-2)2

•|x|=1，故曲線E的方程為[x²+（y-2）²]x²=1 ①．
y軸為x=0，顯然與方程①聯(lián)立無(wú)解．
又P₁（1，2）、P₂（-1，2）為E上的兩個(gè)點(diǎn)，且代入x=0，有 η=1×（-1）=-1＜0，
故x=0是一條分隔線．
若過(guò)原點(diǎn)的直線不是y軸，設(shè)為y=kx，代入[x²+（y-2）²]x²=1，可得[x²+（kx-2）²]x²=1，
令f（x）=[x²+（kx-2）²]x²-1，
∵f（0）f（2）＜0，
∴f（x）=0有實(shí)數(shù)解，即y=kx與E有公共點(diǎn)，
∴y=kx不是E的分隔線．
∴通過(guò)原點(diǎn)的直線中，有且僅有一條直線是E的分隔線．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查新定義，直線的一般式方程，求點(diǎn)的軌跡方程，屬于中檔題．