Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=2a_n-1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

2n

an•an+1

，試判斷數(shù)列{b_n}的前n項和S_n與

1

3

的大小關系．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等差關系的確定,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）將a_n+1=2a_n-1轉化a_n+1-1=2（a_n-1），構造出有特殊性質的數(shù)列{a_n-1}，再去解決．
（2）由b_n=

2n

an•an+1

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

，利用裂項求和法能求出Sn＜

1

3

．

解答： 解：（1）∵a_n+1=2a_n-1，兩邊同時減去1，得
a_n+1-1=2（a_n-1），又a₁-1=2
∴{a_n-1}是以a₁-1=2為首項，q=2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ+1（n∈N^*）．
（2）b_n=

2n

an•an+1

=

2n

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

，
∴S_n=（

1

2+1

-

1

22+1

）+（

1

22+1

-

1

23+1

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+1+1

）
=

1

2+1

-

1

2n+1+1

=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3

．
∴Sn＜

1

3

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列前n項和與

1

3

的大小的比較，解題時要注意等比數(shù)列定義，前項和公式，轉化能力，計算能力的應用與培養(yǎng)．