Question

已知函數(shù)f（x）=xe^x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）求函數(shù)在x=1處的切線方程；  
（2）若任意x∈R，f（x）＞m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程即可求出切線方程．
（2）由題意可得，即求f（x）的最小值，利用導(dǎo)數(shù)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值即得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=xe^x
∴f′（x）=e^x+xe^x，∴f′（1）=2e，又f（1）=e，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-e=2e（x-1），即2ex-y-e=0．
（2）∵任意x∈R，f（x）＞m恒成立，
∴只要f（x）_min＞m即可，
令f′（x）＞0⇒x＞-1，即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，+∞）；
由f′（x）＜0⇒x＜-1，即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-1）；
∴當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）_min=f（-1）=0，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍（-∞，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)的意義，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化能力及計(jì)算能力，屬于中檔題．