甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40千米的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50千米，兩廠要在此岸邊AD之間合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，若CD=x千米，設總的水管費用為y元，如圖所示，
（Ⅰ）寫出y關于x的函數(shù)表達式；
（Ⅱ）問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最�。�
考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用
專題：導數(shù)的概念及應用
分析：（Ⅰ）先確定AC與BC的長，在根據(jù)水管費用即可建立總的水管費用函數(shù)解析式；
（Ⅱ）利用導數(shù)求出函數(shù)最值，即可確定供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最�。�
解答： 解：（Ⅰ）∵CD=x，BD=40，AC=50-x，
∴BC=
BD2+CD2
=
x2+402

又總的水管費用為y元，
依題意有：y=3a（50-x）+5a
x2+402
（0＜x＜50）
（Ⅱ）由（1）得y′=-3a+
5ax
x2+402
，
令y′=0，解得x=30  
y在（0，30）單調(diào)遞減，在（30，50）單調(diào)遞增上，
函數(shù)在x=30（km）處取得最小值，此時AC=50-x=20（km）
∴供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最�。�
點評：本題考查導數(shù)在生活中優(yōu)化問題的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xex（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）求函數(shù)在x=1處的切線方程；  
（2）若任意x∈R，f（x）＞m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求下列函數(shù)的導數(shù)．
（1）y=2xsin（2x-5）
（2）f（x）=ln
x2+1

（3）y=
2x
x2+1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sin
ωx
2
•cos
ωx
2
-2
3
cos2
ωx
2
+
3
（ω＞0），其圖象與直線y=2的相鄰兩個公共點之間的距離為2π．
（Ⅰ）若x∈[0，π]，試求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）△ABC的三個內(nèi)角A，B，C及其所對的邊a，b，c滿足條件：f（A）=0，a=2，且b，a，c成等比數(shù)列．試求
CA
在
CB
方向上的抽影n的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2Sn=9-an，bn=3-2log3an．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（Ⅱ）令cn=
b n
a n
，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn；
（Ⅲ）證明：當n≥2時，a2nbn＜1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

曲線y=x3+x2-1在點P（-1，-1）處的切線方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1=
1
2
，an=
2-n
n
Sn，則
lim
n→∞
（S1+S2+…+Sn）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在區(qū)間[0，
3π
2
]上的余弦曲線y=cosx與坐標軸圍成的面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設x，y為實數(shù)，且滿足：（x-2014）3+2013（x-2014）=-2013，（y-2014）3+2013（y-2014）=2013，則x+y=
 
．

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