Question

如圖，點A是單位圓與x軸正半軸的交點，點B（-

1

2

，

3

2

）．
（Ⅰ）若∠AOB=α，求sin2α的值；
（Ⅱ）設(shè)點P為單位圓上的動點，點Q滿足

OQ

=

OA

+

OP

，∠AOP=2θ（

π

6

≤θ≤

π

2

），f（θ）=

OB

•

OQ

，求f（θ）的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,任意角的三角函數(shù)的定義

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）直接結(jié)合三角函數(shù)的定義求解sinα，cosα的值，然后，根據(jù)二倍角公式進(jìn)行求值；
（Ⅱ）首先，求解f（θ）=sin(2θ-

π

6

)-

1

2

，然后，根據(jù)

π

6

≤θ≤

π

2

，確定f（θ）的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）cosα=

x

r

=-

1

2

，sinα=

y

r

=

3

2

，
sin2α=2sinα•cosα
=2×

3

2

×(-

1

2

)=-

3

2

． 
∴sin2α的值-

3

2

；  
（Ⅱ）∵P（cos2θ，sin2θ），A（1，0），
∴

OQ

=

OA

+

OP

=(1+cos2θ，sin2θ)，
∴f(θ)=

OB

•

OQ

=-

1

2

(1+cos2θ)+

3

2

sin2θ
=sin(2θ-

π

6

)-

1

2

，
∵

π

6

≤θ≤

π

2

，
∴

π

6

≤2θ-

π

6

≤

5π

6

，

1

2

≤sin(2θ-

π

6

)≤1，
∴0≤f(θ)≤

1

2

，
∴f（θ）的取值范圍[0，

1

2

]．

點評：本題考查三角函數(shù)的定義、二倍角公式、兩角差的正弦公式等三角函數(shù)的知識，考查了運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．