Question

已知定點(diǎn)，曲線C是使為定值的點(diǎn)的軌跡，曲線過(guò)點(diǎn).
（1）求曲線的方程；
（2）直線過(guò)點(diǎn)，且與曲線交于，當(dāng)的面積取得最大值時(shí)，求直線的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)是曲線上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接、，設(shè)的角平分線交曲線的長(zhǎng)軸于點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）和；（3）.

試題分析：（1）依題意并結(jié)合橢圓的定義，先判斷出曲線的軌跡是以原點(diǎn)為中心，以為焦點(diǎn)的橢圓，從而得出橢圓中參數(shù)的值，由計(jì)算出參數(shù)的值，最后由計(jì)算出的取值即可得到曲線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去得到，從而由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，再由弦長(zhǎng)公式計(jì)算出，再計(jì)算出點(diǎn)到直線的距離，由公式計(jì)算出三角形的面積（含參數(shù)），結(jié)合基本不等式可確定面積最大時(shí)的值，從而可確定直線方程；（3）設(shè)，由角平分線可得=，化簡(jiǎn)并代入坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算，即可得出，然后根據(jù)，可確定的取值范圍.
試題解析：（1）    2分
曲線C為以原點(diǎn)為中心，為焦點(diǎn)的橢圓
設(shè)其長(zhǎng)半軸為,短半軸為,半焦距為，則，
曲線C的方程為                                4分
（2）設(shè)直線的為代入橢圓方程，得
，計(jì)算并判斷得，
設(shè),得

到直線的距離，設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，面積最大
的面積取得最大值時(shí)，直線l的方程為：
和  9分
（3）由題意可知：=,=        10分
設(shè)其中，將向量坐標(biāo)代入并化簡(jiǎn)得：
m（，                12分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034250482496.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，                        13分
而，所以                        14分