Question

【題目】如圖，在多面體中，為矩形，為等腰梯形，，，，且，平面平面，，分別為，的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若直線與平面所成的角的正弦值為，求多面體的體積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取的中點(diǎn).連接，，先證明平面平面，然后可證明結(jié)論.
（Ⅱ）過作，垂直為，連接,可得面平面，可得為直線與平面所成的角，在直角中，由射影定理可得，由，則，可求得，從而求得，再根據(jù)可求得體積.

解：（Ⅰ）如圖，取的中點(diǎn).連接，.

在矩形中，∵，分別為線段，的中點(diǎn)，

∴.

又平面，平面，

∴平面.

在中，∵，分別為線段，的中點(diǎn)，

∴.

又平面，平面，

∴平面.

又，平面，

∴平面平面.

又平面，

∴平面.

（Ⅱ）如圖，過作，垂直為，連接.

面平面平面，且平面平面，平面

所以面平面,則為在平面上的射影.

所以為直線與平面所成的角

則，則

在等腰梯形中，，，則

由，則有，

在直角中，由射影定理有，,則

在直角中，,得

又在直角中, ,得，所以

連接.

∴

.