【題目】已知函數(shù)

是否存在,使得,按照某種順序成等差數(shù)列?若存在,請(qǐng)確定的個(gè)數(shù);若不存在,請(qǐng)說明理由;

求實(shí)數(shù)與正整數(shù),使得內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn).

【答案】(1)見解析;(2)見解析

【解析】

1)根據(jù)題意可得,所以可將問題轉(zhuǎn)化為判斷方程在區(qū)間內(nèi)是否有解處理,設(shè),判斷出函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理求解.(2)結(jié)合題意可將問題轉(zhuǎn)化為研究當(dāng)時(shí),方程的解的情況.然后利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的周期性進(jìn)行分析、求解后可得結(jié)論.

1)∵,

所以

所以問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間內(nèi)是否有解.

設(shè),

,

因?yàn)?/span>,

所以 在區(qū)間上單調(diào)遞增,

,

所以在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)

即存在唯一的 滿足題意.

(2)由題意得

,

當(dāng),即時(shí),,從而不是方程的解.

所以方程等價(jià)于關(guān)于的方程,

下面研究當(dāng)時(shí),方程的解的情況.

,,

則問題等價(jià)于直線與曲線的交點(diǎn)情況.

,

當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:

()

+

0

-

-

0

+

1

-1

當(dāng)趨近于0時(shí),趨向于,

當(dāng)趨近于時(shí),趨向于,

當(dāng)趨近于時(shí),趨向于,

當(dāng)趨近于時(shí),趨向于,

故當(dāng)時(shí),直線與曲線內(nèi)無交點(diǎn),在內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)時(shí),直線與曲線內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn),在內(nèi)無交點(diǎn);

當(dāng)時(shí),直線與曲線內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn),在內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn).

的周期性可知當(dāng)時(shí),直線內(nèi)總有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn),

從而不存在正整數(shù),使內(nèi)有2019個(gè)交點(diǎn).

又當(dāng)時(shí),直線內(nèi)有三個(gè)交點(diǎn),

由周期性知

所以

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1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線的方程;

3)對(duì)于動(dòng)直線,是否存在一個(gè)定點(diǎn),無論如何變化,直線總經(jīng)過此定點(diǎn)?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

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