設(shè)橢圓C=1(a>b>0)的離心率e,右焦點到直線=1的距離d,O為坐標(biāo)原點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點O作兩條互相垂直的射線,與橢圓C分別交于AB兩點,證明,點O到直線AB的距離為定值,并求弦AB長度的最小值.
(1)=1(2)
(1)由e,即a=2c,∴bc.
由右焦點到直線=1的距離為d=1化為一般式:bxayab=0得,解得a=2,b.
所以橢圓C的方程為=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),當(dāng)直線AB斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為ykxm.與橢圓=1聯(lián)立消去y,得(4k2+3)x2+8kmx+(4m2-12)=0.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2=-,x1x2.
OAOB,∴x1x2y1y2=0,∴x1x2+(kx1m)(kx2m)=0,即(k2+1)x1x2km(x1x2)+m2=0,
∴(k2+1) m2=0.
整理得7m2=12(k2+1),所以O到直線AB的距離d (為定值).
當(dāng)直線AB斜率不存在時,可求出直線AB方程為x=±,則點O到直線AB的距離為 (定值)
OAOB,∴OA2OB2AB2≥2OA·OB,當(dāng)且僅當(dāng)OAOB時取“=”,由直角三角形面積公式得:
d·ABOA·OB.
OA·OB,∴d·AB.
AB≥2d,故當(dāng)OAOB時,弦AB的長度取得最小值.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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已知F1,F(xiàn)2是橢圓的兩焦點,過點F2的直線交橢圓于A,B兩點.在
△AF1B中,若有兩邊之和是10,則第三邊的長度為        

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已知橢圓=1的左、右焦點分別為F1F2,M是橢圓上一點,NMF1的中點,若|ON|=1,則|MF1|等于(  ).
A.2B.4C.6D.5

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已知為橢圓的兩個焦點,過的直線交橢圓于兩點,,則 (    )
A.B.C.D.

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已知F1,F2是橢圓的左、右焦點,點P是橢圓上的點,I是△F1PF2內(nèi)切圓的圓心,直線PI交x軸于點M,則∣PI∣:∣IM∣的值為(   )
A.B.C.D.

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已知橢圓方程為=1(a>b>0),它的一個頂點為M(0,1),離心率e,則橢圓的方程為(  ).
A.=1B.=1C.y2=1D.y2=1

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