Question

（3分）（2009•江蘇）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A1，A2，B1，B2為橢圓的四個頂點，F(xiàn)為其右焦點，直線A1B2與直線B1F相交于點T，線段OT與橢圓的交點M恰為線段OT的中點，則該橢圓的離心率為 ．

 

 

Answer 1

【解析】

試題分析：解法一：可先直線A1B2的方程為，直線B1F的方程為，聯(lián)立兩直線的方程，解出點T的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出中點M的坐標(biāo)，代入橢圓的方程即可解出離心率的值；

解法二：對橢圓進(jìn)行壓縮變換，，，橢圓變?yōu)閱挝粓A：x'2+y'2=1，F(xiàn)'（，0）．根據(jù)題設(shè)條件求出直線B1T方程，直線直線B1T與x軸交點的橫坐標(biāo)就是該橢圓的離心率．

解法一：由題意，可得直線A1B2的方程為，直線B1F的方程為

兩直線聯(lián)立則點T（），則M（），由于此點在橢圓上，故有

，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0

即e2+10e﹣3=0，解得

故答案為

解法二：對橢圓進(jìn)行壓縮變換，，，

橢圓變?yōu)閱挝粓A：x'2+y'2=1，F(xiàn)'（，0）．

延長TO交圓O于N，易知直線A1B2斜率為1，TM=MO=ON=1，，

設(shè)T（x′，y′），則，y′=x′+1，

由割線定理：TB2×TA1=TM×TN，，

（負(fù)值舍去），

易知：B1（0，﹣1），直線B1T方程：

令y′=0

，即F橫坐標(biāo)

即原橢圓的離心率e=．

故答案：．