Question

【題目】定義函數(shù)，(0，)為型函數(shù)，共中．

（1）若是型函數(shù)，求函數(shù)的值域；

（2）若是型函數(shù)，求函數(shù)極值點個數(shù)；

（3）若是型函數(shù)，在上有三點A、B、C橫坐標分別為、、，其中＜＜，試判斷直線AB的斜率與直線BC的斜率的大小并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）1個；（3）見解析.

【解析】

（1）先對函數(shù)求導(dǎo)求出其單調(diào)性，結(jié)合端點值求出值域；（2）先求導(dǎo)令導(dǎo)數(shù)等于0，求極值點個數(shù)只需判斷導(dǎo)數(shù)零點的個數(shù)，化簡整理后得，將導(dǎo)數(shù)零點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，利用圖像觀察求出交點個數(shù)；（3）先求導(dǎo)再進行二階求導(dǎo)，利用二階導(dǎo)數(shù)研究一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性與范圍，再得出原函數(shù)的單調(diào)性，因為二階導(dǎo)數(shù)小于0，所以函數(shù)是三凸的單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖像很容易得出兩直線斜率的關(guān)系.

解：（1）因為，

所以

當時，，單調(diào)遞增

當時，，單調(diào)遞減

又因為，，

所以函數(shù)的值域為

（2）因為，

所以，

當時，

結(jié)合函數(shù)圖像易知與在上有且只有一個交點

當，時，，

當時，，，

當時，，，

且當時，

當 時，，函數(shù)單調(diào)遞增

當 時，，函數(shù)單調(diào)遞減

所以函數(shù)只有一個極大值點，極值點個數(shù)為1個

（3）因為，

所以

所以

所以在上單調(diào)遞減，且，所以

構(gòu)造函數(shù),

則

記,

則

當時，，單調(diào)遞增

當時，，單調(diào)遞減

又因為，所以，所以

所以在和上單調(diào)遞減

因為＜＜

所以

所以

所以直線AB的斜率大于直線BC的斜率