【題目】已知直線與拋物線交于兩點.

1)求證:若直線過拋物線的焦點,則;

2)寫出(1)的逆命題,判斷真假,并證明你的判斷.

【答案】1)證明見解析;(2)逆命題:若,則直線過拋物線的焦點;真命題.見解析

【解析】

1)不妨設拋物線方程為 ,則焦點坐標為,

當直線的斜率不存在時,直線方程為 代入,驗證.當直線的斜率存在時,設直線方程為 代入,得,再由韋達定理驗證.

2)逆命題:直線過拋物線的焦點. 是真命題.證明:當直線的斜率不存在時,設直線方程為 代入,解得 ,再由,求解.當直線的斜率存在時,設直線方程為 代入,得 ,由韋達定理得再由,求得 的關(guān)系現(xiàn)求解.

1)設拋物線方程為 ,則焦點坐標為

兩個交點 ,

當直線的斜率不存在時,直線方程為,

代入,得 ,

所以.

當直線的斜率存在時,設直線方程為,

代入

,

由韋達定理得 .

所以若直線過拋物線的焦點時,則.

2)逆命題:若,則直線過拋物線的焦點. 是真命題

證明:當直線的斜率不存在時,設直線方程為 代入

因為,

所以

解得 ,

所以直線過拋物線的焦點.

當直線的斜率存在時,設直線方程為,

代入,

由韋達定理得

又因為,

所以 ,

所以直線的方程,

所以直線過定點

即直線過拋物線的焦點.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,四棱錐中,底面是矩形,面底面,且是邊長為的等邊三角形, 上,且.

(1)求證: 的中點;

(2)在上是否存在點,使二面角為直角?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖:在四棱錐中,平面.,,.點的交點,點在線段上且.

(1)證明:平面

(2)求直線與平面所成角的正弦值;

(3)求二面角的正切值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,設橢圓.

(1)過橢圓的左焦點,作垂直于軸的直線交橢圓、兩點,若,求實數(shù)的值;

(2)已知點,、是橢圓上的動點,,求的取值范圍;

(3)若直線與橢圓交于、兩點,求證:對任意大于3的實數(shù),以線段為直徑的圓恒過定點,并求該定點的坐標.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】定義函數(shù),(0,)為型函數(shù),共中

(1)若型函數(shù),求函數(shù)的值域;

(2)若型函數(shù),求函數(shù)極值點個數(shù);

(3)若型函數(shù),在上有三點A、B、C橫坐標分別為、、,其中,試判斷直線AB的斜率與直線BC的斜率的大小并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知四棱錐的底面為直角梯形,,,底面,且,的中點.

(1)證明:面;

(2)求夾角的余弦值;

(3)求面與面所成二面角余弦值的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,底面是正方形,且,平面 平面,,點為線段的中點,點是線段上的一個動點.

(Ⅰ)求證:平面 平面;

(Ⅱ)設二面角的平面角為,試判斷在線段上是否存在這樣的點,使得,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某學校為了解學生的體質(zhì)健康狀況,對高一、高二兩個年級的學生進行了體質(zhì)測試.現(xiàn)從兩個年級學生中各隨機選取20人,將他們的測試數(shù)據(jù),用莖葉圖表示如圖:《國家學生體質(zhì)健康標準》的等級標準如表.規(guī)定:測試數(shù)據(jù)≥60,體質(zhì)健康為合格.

等級

優(yōu)秀

良好

及格

不及格

測試數(shù)據(jù)

(Ⅰ)從該校高二年級學生中隨機選取一名學生,試估計這名學生體質(zhì)健康合格的概率;

(Ⅱ)從兩個年級等級為優(yōu)秀的樣本中各隨機選取一名學生,求選取的兩名學生的測試數(shù)據(jù)平均數(shù)大于95的概率;

(Ⅲ)設該校高一學生測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為,高二學生測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為,試估計的大。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某商場為提高服務質(zhì)量,隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客,每位顧客對該商場的服務給出滿意或不滿意的評價,得到下面列聯(lián)表:

滿意

不滿意

男顧客

40

10

女顧客

30

20

1)分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率;

2)能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異?

附:

PK2k

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

查看答案和解析>>

同步練習冊答案