【題目】已知A,B,C為銳角△ABC的內(nèi)角, =(sinA,sinBsinC), =(1,﹣2),
(1)tanB,tanBtanC,tanC能否構(gòu)成等差數(shù)列?并證明你的結(jié)論;
(2)求tanAtanBtanC的最小值.

【答案】
(1)解:依題意有sinA=2sinBsinC.

在△ABC中,A=π﹣B﹣C,

所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC.

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,所以cosB>0,cosC>0,

所以tanB+tanC=2tanBtanC,

所以tanB,tanBtanC,tanC成等差數(shù)列.


(2)解:在銳角△ABC中,

tanA=tan(π﹣B﹣C)=﹣tan(B+C)=﹣ ,

即tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC,

由(1)知tanB+tanC=2tanBtanC,

于是tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC≥

整理得tanAtanBtanC≥8,

當(dāng)且僅當(dāng)tanA=4時(shí)取等號(hào),

故tanAtanBtanC的最小值為8.


【解析】(1)依題意有sinA=2sinBsinC,從而2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC,再由cosB>0,cosC>0,能推導(dǎo)出tanB,tanBtanC,tanC成等差數(shù)列.(2)推導(dǎo)出tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC,從而tanAtanBtanC≥8,由此能求出tanAtanBtanC的最小值為8.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系的相關(guān)知識(shí),掌握若平面的法向量為,平面的法向量為,要證,只需證,即證;即:兩平面垂直兩平面的法向量垂直.

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(注:平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用,平均購(gòu)地費(fèi)用=
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