【題目】如圖,在四棱錐A﹣BCDE中,底面BCDE為矩形,側(cè)面ABC⊥底面BCDE,BC=2,CD= ,AB=AC.

(1)證明:AD⊥CE;
(2)設(shè)CE與平面ABE所成的角為45°,求二面角C﹣AD﹣E的余弦值.

【答案】
(1)證明:取BC中點(diǎn)F,連接DF交CE于點(diǎn)O,

∵AB=AC,∴AF⊥BC.

又面ABC⊥面BCDE,∴AF⊥面BCDE,∴AF⊥CE.

再根據(jù) ,可得∠CED=∠FDC.

又∠CDE=90°,∴∠OED+∠ODE=90°,

∴∠DOE=90°,即CE⊥DF,∴CE⊥面ADF,∴CE⊥AD.


(2)解:在面ACD內(nèi)過C點(diǎn)作AD的垂線,垂足為G.

∵CG⊥AD,CE⊥AD,∴AD⊥面CEG,∴EG⊥AD,

則∠CGE即為所求二面角的平面角.

作CH⊥AB,H為垂足.

∵平面ABC⊥平面BCDE,矩形BCDE中,BE⊥BC,故BE⊥平面ABC,CH平面ABC,

故BE⊥CH,而AB∩BE=B,故CH⊥平面ABE,

∴∠CEH=45°為CE與平面ABE所成的角.

∵CE= ,∴CH=EH=

直角三角形CBH中,利用勾股定理求得BH= = =1,∴AH=AB﹣BH=AC﹣1;

直角三角形ACH中,由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+(AC﹣1)2,∴AB=AC=2.

由面ABC⊥面BCDE,矩形BCDE中CD⊥CB,可得CD⊥面ABC,

故△ACD為直角三角形,AD= = = ,

故CG= = = ,DG= = ,

,又


【解析】(1)取BC中點(diǎn)F,證明CE⊥面ADF,通過證明線面垂直來達(dá)到證明線線垂直的目的.(2)在面AED內(nèi)過點(diǎn)E作AD的垂線,垂足為G,由(1)知,CE⊥AD,則∠CGE即為所求二面角的平面角,根據(jù)三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求即可即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系(相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點(diǎn)).

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