Question

【題目】四棱錐P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3．點E在棱PA上，且PE=2EA． （Ⅰ）求異面直線PA與CD所成的角；
（Ⅱ）求證：PC∥平面EBD；
（Ⅲ）求二面角A﹣BE﹣D的大小．（用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BP為z軸， 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系B﹣xyz．
設(shè)BC=a，則A（0，3，0），P（0，0，3），
D（3，3，0），C（0，a，0），
=（3，3﹣a，0）， ，
∵CD⊥PD，∴ ，
即3（3﹣a）+9=0．∴a=6．
∵ ， ，
∴ ．
∴異面直線CD與AP所成的角為60°．
（Ⅱ）證明：連結(jié)AC交BD于G，連結(jié)EG．
∴ ，∴ ．
∴PC∥EG…（6分）又EG平面EBD，PC平面EBD，
∴PC∥平面EBD
（Ⅲ）解：設(shè)平面BED的法向量為 =（x，y，z）， ，
由
又因為平面ABE的法向量 ，
．
所以，二面角A﹣BE﹣D的大小為 ．

【解析】（Ⅰ）以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BP為z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系B﹣xyz，利用向量法能求出異面直線CD與AP所成的角．（Ⅱ）連結(jié)AC交BD于G，連結(jié)EG，由已知得PC∥EG，由此能證明PC∥平面EBD．（Ⅲ）求出平面BED的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣D的大�。�
【考點精析】利用異面直線及其所成的角和直線與平面平行的判定對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．